2017-2018学年高中数学 第二章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义教学案 北师大版选修2-2

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1、§2导数的概念及其几何意义导数的概念一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：米，时间单位：秒)．问题1：试求质点在前3秒内的平均速度．提示：8米/秒．问题2：试求质点在3秒时的瞬时速度．提示：＝＝14＋2Δt，当Δt→0时，→14，故质点在3秒时的瞬时速度为14米/秒．问题3：对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x1时，求函数值y关于x的平均变化率．提示：＝.问题4：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？提示：是．导数的概念1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平

2、均变化率为＝＝，当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数．2．记法：函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝li＝li.导数的几何意义10问题1：函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，你能说出它的几何意义吗？提示：表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率．问题2：当Δx变化时，直线如何变化？提示：直线AB绕点A转动．问题3：当

3、Δx→0时，直线变化到哪里？提示：直线过点A与曲线y＝f(x)相切位置．导数的几何意义1．割线的定义：函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．2．切线的定义：当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．3．导数的几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x

4、0，f(x0))处的切线的斜率．1．函数f(x)在点x0处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于零时的极限，若li存在，则函数y＝f(x)在点x0处就有导数．2．f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在切点(x0，f(x0))处的切线的斜率．10求函数在某点处的导数[例1]　求函数y＝在x＝2处的导数．[思路点拨]　由所给函数解析式求Δy＝f(Δx＋x0)－f(x0)；计算；求li.[精解详析]　∵f(x)＝，∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－1＝，∴＝，∴li＝li＝－1，∴f′(2)＝－1.[一点通]　由导数的定义，求函数y＝f

5、(x)在点x0处的导数的方法：①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率＝；③取极限，得导数f′(x0)＝.1．函数y＝x2在x＝1处的导数为(　　)A．2x　　　　　　　　　　　B．2＋ΔxC．2D.1解析：y＝x2在x＝1处的导数为：f′(1)＝＝2.答案：C2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝f′(1)＝2，则f(2)＝________.10解析：函数f(x)＝ax＋b在x＝1处的导数为f′(1)＝li＝li＝li＝a，又f′(1)＝2，得a＝2，而f(1)＝2，有a＋b＝2，于是b＝0，所以f(x)＝2x，有f

6、(2)＝4.答案：43．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．解：Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，＝＝1＋，∴＝＝2，从而f′(1)＝2.求曲线的切线方程[例2]　已知曲线y＝3x2－x，求曲线上的点A(1,2)处的切线斜率及切线方程．[思路点拨]　利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程．[精解详析]　因为＝＝5＋3Δx，当Δx趋于0时，5＋3Δx趋于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.所以切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.[一点通]　求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤：(1)求

7、出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．4．曲线y＝x2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)A.B.10C．1D.2解析：f′(1)＝li＝li＝li(2＋Δx)＝2.则曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.因为y＝2x－1与坐标轴的交点为(0，－1)，，所以所求三角形的面积为S＝×1×＝.答案：A5．求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程．解：∵点(－2，－1)在曲线y＝上，∴曲线y＝在点(

8、－2，－1)处的切线斜率就等于y＝在x＝－2处的导数．∴k＝f′(－2)＝li＝li＝li＝－，∴曲线y＝在点(－2，－1)处的切线方程