高中数学复习学(教)案(第59讲)棱柱

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1、高中数学复习教（学）案　　　　　　　　新疆奎屯市第一高级中学　王新敞题目第九章(B)直线、平面、简单几何体棱柱高考要求1使学生正确理解棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体及正方体等有关概念，掌握棱柱的性质及长方体对角线性质，会求棱柱的侧面积及体积2仍以棱柱为载体，训练计算能力、想象能力和逻辑推理能力知识点归纳1多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体

2、叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行

3、四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形；（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形7平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线相交于一点，且在点处互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和题型讲解例1已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°源

4、头学子小屋http://wwwxjktygcom/wxc/　wxckt@126com第12页共12页高中数学复习教（学）案　　　　　　　　新疆奎屯市第一高级中学　王新敞，侧棱与底面所成的角为α(0°<α<90°)，点在底面上的射影落在上．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）当α为何值时，AB1⊥BC1，且使D恰为BC中点？（Ⅲ）若α=arccos，且AC=BC=AA1时,求二面角C1—AB—C的大小．解：（Ⅰ）∵B1D⊥平面ABC，AC平面ABC，∴B1D⊥AC,又AC⊥BC,BC∩B1D=D．∴AC⊥平面BB1C1C．（Ⅱ）要使AB1⊥BC1，D是BC的中点，即=0，

5、

6、=

7、

8、

9、，∴，∴．∴，故△BB1C为正三角形，∠B1BC=60°；∵B1D⊥平面ABC，且D落在BC上，∴∠B1BC即为侧棱与底面所成的角．故当α=60°时，AB1⊥BC1，且D为BC中点．（Ⅲ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，经过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（0，a，0），C1（0，，a），，平面ABC的法向量=（0，0，1），设平面ABC1的法向量=（x，y，z）．由=0，及=0，得∴=（，，1）．cos<,>＝=，源头学子小屋http://wwwxjktygcom/wxc/　wxckt@126com第12页共12页高中数学复习教

10、（学）案　　　　　　　　新疆奎屯市第一高级中学　王新敞故,所成的角为45°，即所求的二面角为45°．例2在斜棱柱ABC–A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，且侧棱与底面所成的角为60°，顶点B1在底面ABC内的射影O恰好是AB的中点(1)求证：B1C^C1A；(2)求二面角C1—AB—C的大小证明:(1)以O为原点，OC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，∵B1O⊥平面ABC，∴∠B1BO是侧棱与底面所成角，∴∠B1BO=60°，设棱长为2a,则OB1=a，BO=a,又CO为正△的中线，∴CO=a则A(0,a,0),B(0,-a,0),C(a,0

11、,0),B1(0,0,a),C1(a,a,a)=(a,0,–a),=(–a,0,–a)∵·=–3a2+0–3a2=0,∴B1C^C1A（2）解法一：设平面C1AB的法向量为∴，∵=(–a,0,–a)，=(–a,-2a,–a)，则取，则有又因为ABC的法向量为所以二面角C1—AB—C的余弦值为：源头学子小屋http://wwwxjktygcom/wxc/　wxckt@126com第12页共12页高中数学复习教（学）案　　　　　　　　新疆奎屯市第一高级中学　王新敞∴二面角