高中数学复习学(教)案(第74讲)数列的极限

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1、高中数学复习教（学）案　　　　　　　　新疆奎屯市第一高级中学　王新敞题目(选修Ⅱ)第二章极限数列的极限高考要求　　1理解数列极限的概念，掌握数列极限的运算法则2会通过恒等变形，依据数列极限的运算法则，依据极限为0的几种形式，求数列的极根3会求公比绝对值小于1的无穷等比数列各项的和知识点归纳1数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即

2、an－a

3、无限地接近于0），那么就说数列以为极限记作．注：a不一定是｛an｝中的项2几个重要极限：（1）（2）（C是常数）（3）3极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(型），

4、通过变形使得各式有极限；根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使得各式有极限；4数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似,如果那么　　　　5．无穷等比数列的各项和⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做⑵源头学子小屋http://wwwxjktygcom/wxc/　wxckt@126com第14页共14页高中数学复习教（学）案　　　　　　　　新疆奎屯市第一高级中学　王新敞题型讲解例1求三个基本类型的极限：①；②；③分析：①的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；②的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项

5、)系数之比；③的分子次数小于于分母次数，极限为0解：①；②；③点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；例2求下列极限：（1）;（2）（－n）;（3）（++…+）分析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限源头学子小屋http://wwwxjktygcom/wxc/　wxckt@126com第14页共14页高中数学复习教（学）案　　　　　　　　新疆奎屯市第一高级中学　王新敞解:（1）==（2）（－n）=

6、==（3）原式===（1+）=1点评：对于（1）要避免下面两种错误：①原式===1,②∵（2n2+n+7）,（5n2+7）不存在，∴原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误：①（－n）=－n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在对于（3）要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误例3数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列，且=3,求的值为解：由=3Þd1=3d2，∴==点评：化归思想源头学子小屋http://wwwxjktygcom/wxc/　wxckt@126com第14页共14页高中数学复习教（学）案　　　　　　　　新疆奎屯市第一高级中学　

7、王新敞例4求（a>0);解：=点评：注意分类讨论例5已知,求实数a,b的值;解：=1，∴Þa=1,b=─1例6将无限循环小数化为分数解：=012+00012+0000012+…是一个无穷等比数列的各项和，∴=012/(1─001)=12/99=4/33点评：将无限循环小数化分数的方法例7求数列,,,…的前n项和及各项和解：此数列是一个首项为a1==18/99=2/11,公比为q=1/100的等比数列，∴Sn=,S=点评：注意前n项和与各项和的区别源头学子小屋http://wwwxjktygcom/wxc/　wxckt@126com第14页共14页高中数学复习教（学）案

8、　　　　　　　　新疆奎屯市第一高级中学　王新敞例8在边长为a的正方形ABCD中内依次作内接正方形AiBiCiDi(i=1,2,3,…),使内接正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为a,求所有正方形的面积之和分析：从递推式入手解：令第k个正方形的边长为ak,则ak+1(sina+cosa)=ak(0

9、2）求的值．解:（1）由已知得an＝ｃ·an－1,∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3·ｃn－1∴Sn＝（2）＝①当c=2时，原式＝－;②当ｃ＞2时，原式＝＝－;源头学子小屋http://wwwxjktygcom/wxc/　wxckt@126com第14页共14页高中数学复习教（学）案　　　　　　　　新疆奎屯市第一高级中学　王新敞③当0＜ｃ＜2时，原式=＝点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用例10已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有（－qn）=,求首项a1的取值范围解:（－qn）=,∴qn一定存在∴0＜

10、q

11、＜1或