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时间:2018-07-20
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1、抽屉原理在生活中的应用学院:经济学院专业:工商管理类2班姓名:陈嘉妮学号:101012012109摘要:数学家华罗庚曾经说过:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学。”这是对数学与生活的精彩描述。在我们的日常生活中,数学的应用无处不在,只要我们细心观察就能发现数学与生活之间微妙的联系。而在众多日常生活数学问题中,抽屉原理是比较常见的。抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。引言:同年出生的400人中至少有2个人的生日相同;从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套;从
2、数1,2,...,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同;任取5个整数,必然能够从中选出三个,使它们的和能够被3整除;某校校庆,来了n位校友,彼此认识的握手问候,无论什么情况,在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多;······经过证明,这些结论都是正确的。而证明所运用的原理就是抽屉原理正文:桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中
3、必定至少有一个集合里有两个元素。”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理(“如果有五个鸽子笼,养鸽人养了6只鸽子,那么当鸽子飞回笼中后,至少有一个笼子中装有2只鸽子”)。它是组合数学中一个重要的原理。第一抽屉原理原理1:把多于n+1个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。证明(反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n,而不是题设的n+k(k≥1),故不可能。原理2:把多于mn+1(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。证明(反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设
4、不符,故不可能。原理3:把无穷多件物体放入n个抽屉,则至少有一个抽屉里有无穷个物体。原理1、2、3都是第一抽屉原理的表述。第二抽屉原理把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。证明(反证法):若每个抽屉都有不少于m个物体,则总共至少有mn个物体,与题设矛盾,故不可能。根据抽屉原理的内容我们可以证明生活中的许多数学问题。一.生日问题同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。证明:将一年中的365天(或366天)视为365(366)个抽屉,400个人看作400个物体,由抽屉原理1可以得知:至少有2人的生日相同.400/365=1…35,
5、1+1=2 又如:我们从街上随便找来13人,就可断定他们中至少有两个人属相相同二.握手问题某校校庆,来了n位校友,彼此认识的握手问候,无论什么情况,在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多证明:共有n位校友,每个人握手的次数最少是0次,即这个人与其他校友都没有握过手;最多有n-1次,即这个人与每位到会校友都握了手.然而,如果有一个校友握手的次数是0次,那么握手次数最多的不能多于n-2次;如果有一个校友握手的次数是n-1次,那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2,还是后一种状态1、2、3、…、n-1,握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种
6、情况看成n-1个抽屉,到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”,根据抽屉原理,至少有两个人属于同一抽屉,则这两个人握手的次数一样多。三.借书问题11名学生到老师家借书,老师是书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本。试证明:必有两个学生所借的书的类型相同证明:若学生只借一本书,则不同的类型有A、B、C、D四种,若学生借两本不同类型的书,则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型,把这10种类型看作10个“抽屉”,把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书,就进入哪个抽屉,由抽屉原理,至少有两
7、个学生,他们所借的书的类型相同。一.整除问题把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类,叫做m的剩余类或同余类,用[0],[1],[2],…,[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数,例如[1]中含有1,m+1,2m+1,3m+1,….在研究与整除有关的问题时,常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理,可以证明:任意n+1个自然数中,总有两个自然数的差是n的倍数。(证明:n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等(抽屉原理),不妨记为m=a1*n+bn=a2*n+b,则m-n整除n)。例1证明:任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数。证明:在与整
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