专题1.1.2 余弦定理（讲）-2016-2017学年高二数学同步精品课堂（提升版）（新人教a版必修五） word版含解析

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1、☆教学目标☆1.理解并掌握正弦定理的内容,能运用余弦定理解决两类解三角形的问题.2.通过余弦定理的学习,体会“数形结合”和“转化与化归”的数学思想.☆学习重点☆1.余弦定理在解决与三角形有关的恒等式证明、向量问题中的应用。☆学习难点☆1.利用余弦定理进行边角互化及与三角函数有关性质的综合应用。☆基础回扣☆1、余弦定理（1）定义：三角形中任何一边的_____等于其他两边的_____的和减去这两边与它们的_____的余弦的积的_____.(2)公式：，=______________，______________.(3)推论：cosA=_______

2、__；cosB=__________；cosC=____________.2、解三角形的四种基本类型已知条件定理选用一般解法一边和二角(如a,B,C)两边和夹角(如a,b,C)两边和其中一边的对角(如a,b,A)三边(a,b,c)☆问题探讨与解题研究☆类型一与向量有关的综合性问题例1、在△ABC中，，(1)求证：△ABC为直角三角形；(2)若△ABC外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．【分析】（1）根据向量的数量积坐标运算，由已知得sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC， 再利用正（余）弦定理转化为边。 （2）由（1）知边

3、a=2,利用正弦定理把b+c转化为关于角B的函数，然后利用正弦函数的单调性求解，注意角B的取值范围。【练习】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足，，则边a=()A.B.C.D.类型二三角形中的三角恒等式证明1.在△ABC中，求证：sin2B＋sin2A＝2absinC.【分析】此题所证结论包含△ABC的边角关系，因此可以考虑两种途径进行证明：(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形；(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形．【练习】在△ABC中，已知，求

4、证：tanB=3tanA；【小结】三角形中的三角恒等式的证明方法三角形中的有关证明问题的基本方法同三角恒等式的证明，但要注意灵活地选用正弦定理或余弦定理使混合的边、角关系统一为边的关系或角的关系，使之转化为三角恒等式的证明，或转化为关于a，b，c的代数恒等式的证明，并注意三角形中的有关结论的运用．类型三与三角函数有关的综合性问题例1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.解析　(1)在△ABC中，由

5、于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC，所以sinB(＋)＝·.因此sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC.所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC.又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB，因此sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac，即a，b，c成等比数列．(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝.由余弦定理，得cosB＝＝＝.因为0

6、化，借助内角和定理，减少三角恒等变换中的角．【练习】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c.]解析　(1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC，得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1.即cos(B＋C)＝－.从而cosA＝－cos(B＋C)＝.(2)由于0

7、解方程组得或【小结】解决与三角形有关的三角函数问题，常常用到正弦定理和余弦定理，同时结合使用三角函数的一些性质：①同角三角函数基本关系式，如sin2A+cos2A=1,②诱导公式；③和、差、倍角公式等.☆当堂检测☆1．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C的度数是(　　)A．60°B．45°或135°C．120°D．30°解析　由a4＋b4＋c4＝2c2a2＋2b2c2，得cos2C＝＝＝.∴cosC＝±.∴角C为45°或135°.2．若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC(　　)

8、A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2