机械工程控制基础(修订本)陈康宁习题解答.

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1、第1章拉普拉斯变换的数学方法复习思考题1.拉氏变换的线性性质、微分定理、积分定理、时域的位移定理、复域位移定理、初值定理、终值定理、卷积定理是什么？如何应用？解答：（1）线性性质：若有常数K1，K2，函数f1(t)，f2(t)，且L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)，则(0-1)（2）微分定理：若f(t)的拉氏变换为F(s)，则(0-2)f(0)为t=0时的f(t)值。此定理需考虑在t＝0处是否有断点。如果在t＝0处有断点，f(0－)≠f(0＋)，则该定理需修改成f(0＋)为由正向使t→0时的

2、f(t)值；f(0—)为由负向使t→0时的f(t)值；进而可推出f(t)的各阶导数的拉氏变换：(0-3)式中f(i)(0)（0＜i＜n）表示f(t)的i阶导数在t=0时的取值。如果在t＝0处有断点，f(0－)≠f(0＋)，则该定理需修改成101式中f(i)(0＋)（0＜i＜n）表示f(t)的i阶导数在t从正向趋近于零时的取值。f(i)(0—)（0＜i＜n）表示f(t)的i阶导数在t从负向趋近于零时的取值当初始条件均为零时，即则有（3）积分定理若f(t)的拉氏变换为F(s)，则(0-4)是对不定积分的拉普拉斯变换。式

3、中，是在t=0时的值。如果f(t)在t＝0处包含一个脉冲函数，则，此时，必须将上述定理修正如下：式中，是在t=0＋时的值；，是在t=0—时的值。对于定积分的拉普拉斯变换，如果f(t)是指数级的，则上述定理修改如下：如果f(t)在t＝0处包含一个脉冲函数，则，此时依此类推101如果，该定理也要修正成（4）时域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s)，对任一正实数a，有(0-5)f(t－a)为延迟时间a的函数f(t)，当t＜a时，f(t)＝0。（5）复域位移定理f(t)的拉氏变换为F(s)。对任一常数a（实数或复数），

4、有(0-6)（6）初值定理若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)的初值为(0-7)即原函数f(t)在自变量t趋于零（从正向趋于零）时的极限值，取决于其象函数F(s)的自变量s趋于无穷大时sF(s)的极限值。（7）终值定理若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除在原点处唯一的极点外，sF(s)在包含jω轴的右半s平面内是解析的（这意味着当t→∞时f(t)趋于一个确定的值），则函数f(t)的的终值为(0-8)（8）卷积定理若，则有(0-9)式中，积分，称作f(t)和g(t)的卷积。1011

5、.用部分分式法求拉氏反变换的方法。解答：（1）F(s)无重极点的情况F(s)总是能展开为下面简单的部分分式之和：(0-10)式中K1、K2、…、Kn为待定系数（系数Ki为常数，称作极点s＝pi上的留数）。(0-11)式中pi为A(s)＝0的根，。求得各系数后，则F(s)可用部分分式表示(0-12)因从而可求得F(s)的原函数为(0-13)当F(s)的某极点等于零，或为共轭复数时，同样可用上述方法。注意，由于f(t)是个实函数。若p1和p2是一对共轭复数极点，那么相应的系数K1和K2也是共轭复数，只要求出K1或K2中

6、的一个值，另一值即可得。（2）F(s)有重极点的情况假设F(s)有r个重极点p1，其余极点均不相同，则式中K11、K12、…、K1r的求法如下：101(0-14)其余系数Kr＋1、Kr＋2、…、Kn的求法与第一种情况所述的方法相同，即求得所有的待定系数后，F(s)的反变换为1.用拉氏变换求解微分方程的步骤。解答：用拉氏变换解线性常微分方程，首先通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得常微分方程的解。习题（1）解：利用拉氏变化的线性叠加特性（2）解法1：利用cos10t的拉氏

7、变换结果和复数域位移定理解法2：直接按定义并与cosωt的拉氏变换进行比较解法3：直接按定义求解101解法4：直接套用教材表2-1中第14项结果（3）（用和角公式展开）解法1：利用和角公式展开，然后利用拉氏变换的线性叠加性所以解法2：直接利用定义求解，令，则有（1）而（2）（3）101将（3）式和（2）式代入（1）得【注】本题不可直接利用延时定理，因为函数不是延时函数，如果使用了延时定理，则将改变定义域。（4）解法1：，利用复域平移特性得解法2：利用复域微分特性得解法3：直接按定义并与tn的拉氏变换进行比较解法4：

8、直接按定义求解得到递推关系如下：所以101解法5：直接套用教材表2-1中第9项结果（1）解：设t＜0时，f(t)＝0利用拉氏变换的线性特性（2）解：利用拉氏变换的性质：线性性质，复域平移特性（3）解：设t＜0时，f(t)＝0。利用拉氏变换线性特性、延时特性和复域平移特性【注】本题不可对第二项(t‒1)2e2t采用如下方法：因为，利用时域位移定理得，再利用复域