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1、人教版数学必修(四)常见题型归类(平面向量)红岩一.平面向量的基本概念题型:向量的基本概念判断例1:给出下列命题:①若
2、
3、=
4、
5、,则=;②向量可以比较大小;③方向不相同的两个向量一定不平行;④若=,=,则=;⑤若//,//,则//;⑥;⑦;其中正确的序号是。例2:已知向量表示“向东航行1km”,向量表示“向北航行km”,则向量+表示A.向东北方向航行2kmB.向北偏东30°方向航行2km()C.向北偏东60°方向航行2kmD.向东北方向航行()km二.平面向量的线性运算题型一:化简例3:设A、B、C、D、O是平面上的任意五点,试
6、化简:①=,②=。题型二:向量的作图例4:如图,已知,作出+,-2题型三:共线向量定理例5:设不共线,与平行,则实数的值是例6:是平面内不共线两向量,已知,若三点共线,则=例7:★设O是直线外一定点,A、B、C在直线上,且,则=例8:设,是两个不共线向量,若与起点相同,t∈R,t=时,,t,(+)三向量的终点在一条直线上。题型四:向量的模例9:已知向量、满足,,则
7、-
8、的最大值是最小值是。-19-例10:若向量
9、
10、=2,
11、
12、=1,
13、-
14、=,则则
15、2-3
16、=题型五:向量线性运算的几何意义例11:已知△ABC的三个顶点,A、B、C及
17、平面内一点P满足,则点P与△ABC的关系是()A.P在△ABC的内部B.P在△ABC的外部C.P是AB边上的一个三等分点D.P是AC边上的一个三等分点例12:★已知O是△ABC内一点,+=-3,则△AOB面积与△ABC面积的比值为____题型六:三角形四心例13:已知的三个顶点A、B、C及所在平面内的一点P,若则点P是DABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心例14:O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心()例15:★O是平面上一定点,A、B
18、、C是平面上不共线的三个点,动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心()例16:★在平面内有DABC和点O,若,则点O是DABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心例17:★在平面内有DABC和点O,若,则点O是DABC的A.重心B.垂心C.内心D.外心()三.平面向量的基本定理题型:用一组基底表示其它向量BOADCNM例18:如图所示,OADB是平行四边形,又,,=,=,试用、表示,,.=,=,=.ABOM例19:★如图:OM∥AB,点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边
19、界),且,则实数对(x,y)可以是()-19-A.B.C.D.四.平面向量的数量积题型一:有关向量数量积的判断例20:判断下列各命题正确与否:(1);(2)若,则当且仅当时成立;(3);(4)对任意向量都成立;(5)若,则;(6)对任意向量,有。(7)m()=m+m其中正确的序号是。题型二:平面向量的投影例21:若向量==
20、-
21、=2,则在-方向上的投影为。题型三:平面向量的夹角例22:已知中,,则与的夹角为例23:已知向量与向量的夹角为120°,若向量=+,且⊥,则的值为例24:★已知
22、
23、=1
24、
25、=2,
26、+
27、=2,则与2-的夹角
28、余弦值为.例25:已知向量||=,||=2,和的夹角为,当向量+与+的夹角为锐角时,求的取值范围。题型四:几何图形中的向量数量积例26:在△ABC中,若,则△的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形例27:已知边长为1的正三角形中,则的值为 例28:★已知点P是△ABC所在平面内一点,
29、
30、+
31、
32、=
33、
34、+
35、
36、,则A.PC⊥ABB.PC平分∠ACBC.PC过AB的中点D.P是△ABC的外心()例29:★若正方形边长为1,点在线段上运动,则的取值范围-19-是 .五.平面向量的坐标表示题型一:
37、平面向量的坐标运算例30:已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为 .题型二:平面向量共线的坐标表示例31:已知平面向量,且∥,则( )A.(-2,-4)B.(-3,-6)C.(-4,-8)D.(-5,-10)例32:若平面向量与向量平行,且,则()A.B.C.D.或例33:已知平行四边形中的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),则第四顶点的坐标为.例34:已知中的顶点,重心,则BC边的中点D的坐标为.题型三:平面向量数量积的坐标表示例35:已知向量,
38、若()=4,则_________。例36:若,则与垂直的单位向量的坐标为__________。例37:若,,则向量在向量2-方向上的投影为_________。例38:若,试判断△ABC的形状_________。例39:若已知平行四边形ABCD中,A(0,2),B