信号分析与处理课后习题答案

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1、信号分析与处理课后习题答案第五章快速傅里叶变换1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要50us，每次复加需要10us，用来就散N=1024点的DFT，问：（1）直接计算需要多少时间？用FFT计算呢？（2）照这样计算，用FFT计算快速卷积对信号进行处理是，估计可实现实时处理的信号最高频率？解：分析：直接利用DFT计算：复乘次数为N2，复加次数为N(N-1)；利用FFT计算：复乘次数为，复加次数为；（1）直接DFT计算：复乘所需时间复加所需时间所以总时间FFT计算：复乘所需时间复加所需时间所以总时间为（2）假设计算两个N长序列和的卷

2、积计算过程为如下：第一步：求，；所需时间为第二步：计算，共需要N次复乘运算所需时间为第三步：计算，所需时间为所以总时间为容许计算信号频率为N/T=911.3Hz2.设x(n)是长度为2N的有限长实序列，为x(n)的2N点得DFT。15（1）试设计用一次N点FFT完成计算的高效算法；（2）若已知，试设计用一次N点IFFT实现x(n)的2N点IDFT运算。解：本题的解题思路就是DIT-FFT思想。（1）分析2N点的FFT，如下在始于分别抽取偶数点和奇数点x(n)得到两个N长的实序列x1(n)和x2(n);X1(n)=x(2n),n=0,1

3、,…,N-1X2(n)=x(2n+1),n=0,1,…,N-1根据DIT-FFT的思想，只要球的x1(n)和x2(n)的N电DFT，再经过简单的一级蝶形运算就可得到x(n)的2N点的DFT。因为x1(n)和x2(n)均为实序列，所以根据DFT的共轭对称性，可以用一次N点FFT求得X1(k)和X2(k)。具体方法如下：令y(n)=x1(n)+jx2(n)Y(k)=DFT[y(n)],k=0,1,…,N-1则X1(k)=DFT[x1(n)]=Yep(k)=0.5[Y(k)+Y*(N-k)]X2(k)=DFT[jx2(n)]=Yop(k)=

4、0.5[Y(k)-Y*(N-k)]2N点得DFT[x(n)]=X(k)可由X1(k)和X2(k)得到这样，通过一次N点FFT计算就完成了计算2N点DFT。当然由Y(k)求x1(k)和X2(k)需要相对小的额外计算量。（2）分析2N点的IFFT变换，如下与(1)相同，设X1(n),x2(n),X1(k),X2(k);n,k=0,1,…,N-1则应满足关系式由上式可解出由以上分析可得出计算过程如下:由X(k)计算出X1(k)和X2(k),即由X1(k)和X2(k)构成N点频域序列Y(k)Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Y

5、op(k)其中Yep(k)=X1(k)，Yop(k)=jX2(k),进行N点IFFT得到15由DFT的共轭对称性知由x1(n)和x2(n)合成x(n)3.请给出16点时域抽选输入倒序、输出顺序基2-FFT完整计算流图，注意及其p值得确定。解：15第6章无限长冲激响应（IIR）数字滤波器1.设系统的差分方程为请画出该系统的直接型、级联型和并联型结构。解：（1）直接-I型结构：（2）直接-II型结构：（3）级联型结构：（4）并联型结构152设系统的系统函数为试画出该系统的级联型结构。解：3设计一个模拟巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率，

6、通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。求系统函数。解：（1）求阶数。15带入的计算公式得：，所以取=5（2）求归一化系统函数。由阶数=5直接查表可得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数为：（3）去归一化，由归一化系统函数得到实际滤波器系统函数。，因此带入的值即可。4设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。求系统函数。解：（1）确定滤波器技术指标：，，，（2）求阶数和15，为满足指标要求，取（3）求归一化系统函数：其中，极点可由下式求出：（4）将去归一化，求得实际滤波器系统函数。

7、15其中。因为，所以。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。带入即可得到相应结果。5模拟滤波器的系统函数为，试分别采用冲激响应不变法和双线性变换法将其转换成数字滤波器。解：（1）冲激响应不变法（设抽样间隔为）可以求出的极点为：所以（2）双线性变换法（设抽样间隔为）6假设某模拟滤波器系统函数是一个低通滤波器，并且有15，数字滤波器的通带中心位于下面哪种情况？说明原因。（1）；（2）；（3）除0和以外的某一频率（带通）。解：方法1：按题意可写出故即原模拟低通滤波器以为通带中心，由上式可知，时，对应于，故答

8、案为（2）。方法2：找出对应于的数字频率的对应值即可。令，对应于，应有，则对应的不是模拟低通滤波器；令，对应，应有，则，即对应，将模拟低通中心频率映射到处，所以答案为（2）。方法3：直接根据双线性变换法设计公式及模拟域低