数学物理方程第二章分离变量法word版

《数学物理方程第二章分离变量法word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五讲补充常微分方程求解相关知识。26第二章分离变量法l偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。l解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数l一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题l对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题（第六讲）§2.1有界弦的自由振动什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？下面通过两

2、端固定的弦的自由振动问题来说明。定解问题：考虑长为l，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为分析：1.方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。2.我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数。启发：能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？也既是能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解，再用其作线性组合使其满足初始条件。由分析，我们现在试求方程的变量分离形式：的非零解。l将代入方程，可得此式中，左端是关于的函数，右端是关于的函数。因此，左

3、端和右端相等，就必须等于一个与无关的常数。设为，则有26l将边界条件代入得此时，必有这就完成了用分离变量法求解偏微分方程定解问题的第一步：分离变量l目标：分离变量形式的解l结果：得到函数满足的常微分方程和边界条件以及满足的常微分方程，l条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的现在我们求解函数满足的常微分方程定解问题。我们发现：方程中含有待定常数，定解条件是齐次边界条件，与一般的常微分方程的初值问题不同：l并非对任一的，都有既满足齐次方程有满足边界条件的非零解；l只有当取某些特定值时，才有既满足方程又满足边界条件的非零解。有非零解的称为该问题的特征值相应的非

4、零解称特征函数而满足的常微分方程的定解问题称特征值问题。第二步：求解特征值问题1)若，方程的通解形式为由定解条件知，从而，不符合要求。2)若，方程的通解形式为由边界条件知，从而，不符合要求。261)若，方程的通解形式为代入边界条件得从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数第三步：求特解，并叠加出一般解求解了特征值问题后，将每特征值代入函数满足的方程可得出相应的解因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的特解注：l这样的特解有无穷多个l每个特解都满足齐次方程和齐次边界条件l一般来说，单独任何一个特解不可能恰好满足定解问题的初始条件，即无法找到满足。l

5、把全部特解叠加起来我们知，只要级数收敛，并且二次可微，则也满足齐次边值问题。下面选择合适的使满足初始条件，即26第四步：运用特征值函数的正交性定叠加系数事实上，我们知道补充内容：f(x)的傅里叶级数其中总结：利用分离变量法求解偏微分方程定解问题的基本步骤：第一步：分离变量这一步所以能够实现，先决条件使偏微分方程和边界条件都是齐次的。而分离变量的结果是得到含有待定常数的齐次常微分方程和齐次边界条件，即特征值问题；第二步：求解特征值问题；第三步：求出全部特解，并进一步叠加出一般解（形式解）；第四步：利用特征函数的正交性确定叠加系数。（第七讲）严格来说，上面

6、得到的还是形式解，对于具体问题，还必须验证：1)这样得到的是否满足偏微分方程，换句话说，级数解是否可以逐项求二阶导数；2)是否满足边界条件，即是否连续；3)确定系数时，逐项积分是否合理。关于上三个问题，都涉及到级数解的收敛性，由于系数都是由决定的，因而的性质就决定了上三个问题的回答。可以证明若26三次可微，二次可微，，则问题解存在，且此解可用上面的级数形式给出（见复旦大学《数学物理方程》）。从理论上讲，分离变量法之所以成功，要取决于下列几个条件：1)特征值问题有解；2)定解问题的解一定可以按照特征值函数展开，也既是说，特征值函数是完备的；3)特征值函数

7、一定具有正交性。以后适当回答这些问题。解的物理意义先看特解其中。l代表一个驻波驻波：频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加后形成的波。波在介质中传播时其波形不断向前推进，故称行波；上述两列波叠加后波形并不向前推进，故称驻波。l表示弦上各点的振幅分布l是振动的固有频率，称为弦的固有频率或特征（本征）频率l为初相位，由初始条件决定l在的各点上，振动振幅恒为零，称为波节（节点），包含两个端点共有个节点l在的各点上，振幅绝对值恒为最大，称为波峰（腹点），共有n个l满足定解问题的级数解则是这些驻波的叠加，因此也称分离变量法为驻波法l就两端点固定

8、的弦来说，固有频率中有一最小值，即，称为基频，其他频率都是其倍数，称为倍频。26实际例子：l弦