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时间:2018-07-19
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1、用Lagrange中值定理求极限科技信息高校理科研究用Lagrange巾值定理求极限安阳工学院臧雨亭石留杰[摘要]极限是分析学的基础和重要工具,也是高等数学教学中的一个难点;Lagrange中值定理是微分学的一个极为重要的定理,它严谨地解释了连续函数自变量增量与函数值增量之间的关系。本文深刻的论证了用Lagrange中值定理求解极限的方法,并以典型例题为主体介绍这种方法的具体应用。[关键词]函数极限Lagrange中值定理1.引言a,则极限是分析学的基础和重要工具,它为建立后续的一系列重要概念——连续、导数、积分等
2、提供了理论支持和工具辅助;而且极限本身的论证和求解也蕴含着深刻的数学思想、体现出高超的数学技巧,因而也必然成为高等数学教学实践中的一个难点。Lagrange中值定理是微分学理论体系中一个极为重要和关键的定理,它严谨地解释了连续函数自变量增量与函数值增量之———————————————————————————————————————————————间的关系,又与后面的定积分及积分学中值定理一起深刻的揭示了微分和积分之间的关系。具体到题目当中,定理经常用来将某区间上的函数值增量处理为自变量增量的代数式,从而为下一步的论
3、证和运算提供桥梁和便利;那么在求解极限的过程中遇到函数值的增量也可以尝试着使用定理进行处理,以期达到简化计算的目的。2.Lagrange中值定理及其在求解极限中的应用2.1Lagrange中值定理如果函数f(x)满足:(1)在闭区间【a,b】上连续;(2)在开区间a,b)内可导,那么在(a,b)内至少存在一点∈(a<∈<b),使等式fib)一f(a)=f(《)o)一a)成立。原极限lim塑篮尘二立:lim。os∈:cosa。”8¨=解法三应用三角函数的和差化积公式可得sinx-sina=2coslx+_asin等等
4、,则原极限lim!:!兰!竺呈抽竺兰!呈=lim。半=cosaocos掣}原极限l——』———Ldim——』———羔一例2.3.2求极限lim兰二;二。分析此极限若用L'Hospital法则求解会比较繁琐,考虑使用Lagrange中值定理。———————————————————————————————————————————————解当x—加+时sinx<x,所以在区间[sinx,xl上对函数“x)=21应用La—grange中值定理可得2.2如何用L蝌∞ge中值定理求极限应用L嘲.趾ge中值定理求解极限就是将极限
5、当中符合条件的函数值增量处理为自变量增量与导数之积的形式再进行讨论,此时一定要注意:(1)应用Lagrange中值定理必须符合定理本身的条件,否则可能使x枷+,所以㈨+,则lim辈:lim一2qn2(x.-sinx);lim281n2:1n2。…。-8“。岛””“2x-21瓜=2qn2?x—sinx),其中sinx<∈<x,由于当x—+o+时sinx—+o+且即+结论不成立;(2)在随后的极限的求解中一定要论证∈的变化趋势。例2.33求极限姆n2(arct”÷一arctan善r)(其中枷)。分析此极限若用L‘Hos
6、pital法则求解不仅要把数列极限转化为函———————————————————————————————————————————————数极限,而且很繁琐。例如,求lim坐£姒时,如果“x)满足一定条件——比如在R上连r4&X—a续、可导,那么也必然在由点a和点x所构成的闭区间上连续、开区间内可导——因而可以使用Lagrange中值定理将函数值的增量f(x)一“a)处理为f④(x—a)(其中∈介于a和x之间,所以当x—a时由夹逼准则可解将函数“x)=arctanx在区间l嚣r,曼nl上应用Lagrange中值定理知
7、t}--'a),从而将极限处理为lim且州=limh法则容易验证该结果是正确的。2.3典型例题及解析r~x-ahr(∈)=r(a),使用L’Hospital可得arctan詈~“ctan者=(arct—x)fJ域。(詈一番r)-了虿1于?}<∈<一aE[1im———————————————————————————————————————————————‘面ni2可a,由a=lira—号丁=o,所以当n一*时卜+0,则例2.3.1求极限lim—slnx-—slna。nx-a原极限。l—imⅫ3.结束语T苦‘盎2a。分
8、析此极限可以用L’Hospital法则、Lagrange中值定理或三角函数的和差化积来解,这三种解法在结果上是一致的。解法一应用L’Hospital法则有lim本文详细地分析了Lagrange中值定理在求解极限中的作用,探讨了应用Lagrange中值定理求解极限的方法及其使用时的注意问题,通过例题示范了应用Lagrange中值定理求解极限的过程。参考文献[1
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