经典高中奥数函数

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1、函数【知识精要】1.对于抽象函数,常见的处理途径包括:(1)赋值;(2)联想对应的具体函数;(3)模拟画像,即数形结合。如练习1。2.若函数为单调的奇函数,且,则。若遇两个式子结构相同,不妨依此构造函数,若刚好函数能满足上述性质,则可解之。如例2及练习2。3.对于一元二次方程的韦达定理,和一元二次函数的图象有关的对称、最值问题要了如指掌。同时要弄清一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间关系,如已知一元二次方程的根为,则可设。如例4及练习4。4.若遇到条件是不等式,结论是等式,往往是利用两个模型解决:(1),则,如例5;(2),则。【例题精讲】+【习

2、题精练】例1:(第二届美国数学邀请赛)定义在实数集上,且对于一切实数满足等式:和,设是的一个根,记在区间中的根个数为,求的最小值。解:,故是以10为周期的函数。有,即,在内方程至少有两个根,而计200个周期,所以至少有=401个根,即。练习1:(2005广东高考第19题)设函数在上满足,且在闭区间上,只有。(1)试判断函数的奇偶性;(2)试求方程在闭区间上根的个数,并证明你的结论。解:(1)若函数有奇偶性,则无论奇偶,由有,又,令,则第4页共4页,与在闭区间上,只有矛盾,故函数无奇偶性。(II)由又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从

3、而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005,0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解。例2:求的图象与轴交点坐标。解:令,可知是奇函数,且严格单调,所以,当时,,所以,故,即图象和轴交点坐标为练习2:已知实数满足,求解:由已知有,令,可知该函数是奇函数,且严格单调递增,故,即,例3:设函数且严格递增,当互质时,,若求的值。解:由及,得,又取值为整数且严格单调递增,所以,又,从而必有,所以=又19和98互质,=,即=1862。第4页共4页练习3:设函数且严格递增,,求解:由,将换为,有,又将原式两边取函数值有,故。

4、若,则矛盾,故设,,此时,所以,,中间必有,所以例4:已知,试判断实数的大小关系,并证明之。解:令,则,,可见。猜想下面利用反证法证明:若,则即而函数和在R上均为减函数,且这与矛盾,故。练习4:已知,求的首位数字。解:=1979。故为6533位数,由,得第4页共4页说明的首位数字是5。例5:(第15届美国数学邀请赛)已知为非零实数,,且。若当时,对于任意实数,均有,试求出值域以外的唯一数。解:当时,有,则,化简得,由于该方程对恒成立,故则。又,即19,97是方程的两根,即19,97是方程的两根,由韦达定理得结合得,从而故取不到58这个数,即58是的值域外的

5、唯一数。练习5:已知函数,方程的两个根为,且(1)求证:也是方程的根;(2)设的另两个根是,且,试判断的大小。解:(1)易证。(2)由方程的两个根为,设所以记,则是的两根,而,且,故。第4页共4页

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