义务教育2018-版高中数学(人教a版)选修1-1同步教师用书:第二章2.1.2椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质

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1、2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质1.掌握椭圆的简单几何性质,能用椭圆的简单几何性质求椭圆方程.(重点)2.掌握椭圆离心率的求法及a,b,c的几何意义.(难点)3.理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念.(易混点)[基础·初探]教材整理 椭圆的简单几何性质阅读教材P37观察~P40例4以上部分,完成下列问题.1.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a顶点A1(-a,0),

2、A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长短轴长=2b,长轴长=2a焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距

3、F1F2

4、=2c对称性对称轴为坐标轴,对称中心为(0,0)离心率e=2.离心率性质离心率e的范围是(0,1).e越接近于1,椭圆越扁;e越接近于0,椭圆就越接近于圆.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长等于a.(  )(2)椭圆+=1与+=1有相同的离心率.(  )(3)椭圆的离心率e

5、越接近于0,椭圆越接近于圆.(  )【答案】 (1)× (2)√ (3)√[小组合作型]椭圆的简单几何性质 (1)椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为(  )A.(±13,0)B.(0,±10)C.(0,±13)D.(0,±)(2)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为(  )A.B.C.D.【自主解答】 (1)由题意知椭圆焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c==,故焦点坐标为(0,±).(2)设长轴长为2a,短轴长为2b,由题意可知a=2b,则c===b,

6、所以离心率为e===.【答案】 (1)D (2)B已知椭圆的方程讨论其几何性质时,应先将方程化为标准形式,不确定焦点位置的要分类讨论,找准a和b,才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等,同时,要注意其中某些概念的区别,如长轴长是2a,短轴长是2b.[再练一题]1.(1)椭圆6x2+y2=6的长轴的顶点坐标是(  )A.(-1,0),(1,0)B.(-6,0),(6,0)C.(-,0),(,0)D.(0,-),(0,)【解析】 椭圆的标准方程为x2+=1,焦点在y轴上,其长轴的端点坐标为(0,±).【答案】 D(2)已知椭圆+=1的一个顶点

7、为(0,5),试求椭圆的长轴长,短轴长,焦点坐标,离心率及其余的顶点.【解】 ∵(0,5)是椭圆+=1的顶点,∴m=25.∴椭圆方程为+=1,∴a2=25,b2=9.∴c2=a2-b2=16.∴长轴长2a=10,短轴长2b=6,焦点为(0,-4),(0,4),离心率为e==,其余顶点为(-3,0),(3,0),(0,-5).利用椭圆几何性质求其标准方程 写出满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在x轴上,a=4,e=;(2)焦点在y轴上,c=6,e=;(3)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3;(4)离心率为

8、,经过点(2,0).【导学号:97792016】【精彩点拨】 本题考查椭圆方程的求法.根据题中所给条件,结合椭圆的几何性质定位(即确定焦点位置)、定量(即确定长轴和短轴的长),若没有指明焦点位置,要分焦点在x轴上、y轴上进行讨论.【自主解答】 (1)由a=4,e==知,c=2,b2=16-4=12.又焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.(2)由c=6,e=知,a=9,b2=81-36=45.又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.(3)由题意知,a=5,c=3,b2=25-9=16,焦点所在坐标轴可为x轴,也可为y轴,故椭圆

9、的标准方程为+=1或+=1.(4)由e==,设a=2k,c=k,k>0,则b=k.又椭圆经过点(2,0),当它为短轴顶点时,则b=2,a=4,椭圆的标准方程为+=1.当点(2,0)为长轴顶点时,a=2k=2,即k=1.所以椭圆标准方程为+y2=1.利用椭圆的性质求椭圆的标准方程应注意:(1)讨论:若题目中没有明确焦点的位置,要根据题中条件适当分类,设出对应方程;(2)减参:设椭圆方程时,根据题中所给条件建立关于a,b的关系式,尽量减少待确定的参数的个数.[再练一题]2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴长是10,离心率是;(2

10、)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.【解】 (1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0).由已知得2a=10,a=5.又∵e==,∴c=4.∴b2=a2-c2=25-16=9.

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