义务教育2016届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）：椭圆

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点考查内容，三种题型均有可能出现，如2012年山东T10等．2.直线与椭圆位置关系问题一直是高考的重点，多以解答题形式考查，难度相对较大，如2012年陕西T19等.[归纳·知识整合]1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于F1F2.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．[探究]1.在椭圆的定义中，若2a＝

2、F1F2或2ab>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝，e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2

3、－b2[探究]2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e＝越接近1，a与c就越接近，从而b＝就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．[自测·牛刀小试]1．椭圆＋＝1的离心率为()A.B.C.D.解析：选D∵a2＝16，b2＝8，∴c2＝8，∴e＝＝.2．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6B．5C．4D．3解析：选A根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.3．椭圆x2＋my2＝1

4、的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.B.C．2D．4解析：选A由题意知a2＝，b2＝1，且a＝2b，则＝4，得m＝.4．若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为()A．2B．2C．4D．4解析：选C把点(－2，)的坐标代入椭圆方程得m2＝4，所以c2＝16－4＝12，所以c＝2，故焦距为2c＝4.5．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，OM＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知OM＝PF2＝3，则PF2＝6.故PF1＝2×5－6＝4.答案：4椭圆的定义、标准方程[例1](1)

5、已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC是周长是()A．2B．6C．4D．12(2)(2012·山东高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1[自主解答](1)根据椭圆定义，△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4.(2)由离心率为得，a2＝4b2，排除选项B，双曲线的渐近线方程为y＝±x，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第

6、一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A、C、D，知选项D正确．[答案](1)C(2)D———————————————————用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2＋ny2＝1(

7、m>0，n>0).1．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，根据椭圆定义2a＝12，即a＝6，又＝，得c＝3，故b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝12．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且1⊥2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和△PF1F2是一个面积等于9的直角三角形，有①

8、式两端平方并把②、③两式代入可得4c2＋36＝4a2