义务教育2016届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）：数学归纳法

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解数学归纳法的原理．2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.与数列等知识相结合，以解答题的形式考查等式、不等式的证明，如2012年安徽T21等．2.以解答题的形式考查“观察—归纳—猜想—证明”的问题，如2012年湖北T22等.[归纳·知识整合]1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．[探

2、究]　1.数学归纳法证题的基本原理是什么？提示：数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．2．用数学归纳法证明问题应该注意什么？提示：(1)第一步验证n＝n0时命题成立，这里的n0并不一定是1，它是使命题成立的最小正整数．(2)第二步证明的关键是合理运用归纳假设，特别要弄清由k到k＋1时命题的变化情况．(3)由假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1命题也成立时，

3、要充分利用归纳假设，即要恰当地“凑”出目标．2．数学归纳法的框图表示[自测·牛刀小试]1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步检验n等于(　　)A．1　　　　　　　　　　B．2C．3D．0解析：选C　∵n≥3，∴第一步应检验n＝3.2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析：选D　∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端

4、应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.3．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是(　　)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.解析：选B　当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．4．(教材习题改编)用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)，

5、第一步要证的不等式是________．解析：当n＝2时，左边＝1＋＋＝1＋＋，右边＝2，故填1＋＋<2.答案：1＋＋<25．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形．答案：π用数学归纳法证明等式[例1]　n∈N*，求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.[自主解答]　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.左边＝右边．(2)假设n＝k时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，＋＝＋＝＋＋…＋＋.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n∈N*

6、，等式成立．———————————————————用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值．(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．1．求证：12＋22＋…＋n2＝.证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，左边＝右边，等式成立；(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥1)时，等式成立，即12＋22＋…＋k2＝，则当n＝k＋1时，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1

7、)2＝，所以当n＝k＋1时，等式仍然成立．由(1)、(2)可知，对于∀n∈N*等式恒成立．用数学归纳法证明不等式[例2]　已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.求证：当n∈N*时，an0，得ak＋