(新课标）2018届高考数学二轮复习 第三部分 题型指导考前提分 题型练4 大题专项（二）数列的通项求和问题 理

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1、题型练4　大题专项(二)数列的通项、求和问题1.设数列{an}的前n项和为Sn,满足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)≠0.(1)求{an}的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.2.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为Sn,bn=.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)设数列{bn}前n项和为Tn,求Tn.3.已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=(an-1),a为常数,且a≠0,a≠1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若a=,

2、设bn=,且数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<.-6-4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公比为q的等比数列{bn}的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;(2)求数列的前n项和Tn.-6-5.已知数列{an}满足a1=,且an+1=an-(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{}的前n项和为Sn,证明:(n∈N*).6.已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q

3、>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=,证明:e1+e2+…+en>.参考答案题型练4　大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)解当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.当n≥2时,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,两式相减,得an=qan-1.又q(q-1)≠0,所以{an}是以1为首项,q为公比的等比数列,故an=qn-1.-6-(2)证明由(1)可知Sn=,又S3

4、+S6=2S9,所以,化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列.2.解(1)∵在等差数列{an}中,a1=1,公差d=1,∴Sn=na1+d=,∴bn=(2)bn==2,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=2+…+=2+…+=2故Tn=3.(1)解因为a1=S1=(a1-1),所以a1=a.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,得=a,所以数列{an}是首项为a,公比也为a的等比数列.所以an=a·an-1=an.(2)证明当a=时,an=,所以b

5、n=因为,所以bn=所以Tn=b1+b2+…+bn<+…+-6-因为-<0,所以,即Tn<4.解(1)设{an}公差为d,由题意得解得故an=3n-1,bn=(2)+22n+1,∴Tn=+…+(22n+3-8)=5.证明(1)由题意得an+1-an=-0,即an+1≤an,故an由an=(1-an-1)an-1,得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.由0

6、n∈N*).②由①②得(n∈N*).6.解(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n≥1都成立.所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,-6-即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以an=2n-1(n∈N*).(2)由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2

7、-=1的离心率en=由e2=,解得q=因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>qk-1(k∈N*).于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=,故e1+e2+…+en>-6-