解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)

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1、专题二:圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题【焦半径——椭圆】【焦半径——双曲线】(1)单支焦点半径(2)双支焦点半径【焦半径——抛物线】【焦点弦有关推论——椭圆】1、过椭圆、双曲线的一焦点F交椭圆或双曲线(单支)于A,B两点，则2、过双曲线的焦点F的直线分别与两支交于A,B，与焦点轴夹角为3、过抛物线的焦点F直线交抛物线于A,B两点，与焦点轴夹角为4、已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有【椭圆焦三角形 面积】q为动点到原点的距离,,m,n为弦长,为弦夹角

2、【椭圆】【双曲线焦△ 面积】q为动点到原点的距离,,m,n为弦长,为弦夹角【抛物线焦点弦与原点△ 面积】【焦点△ 顶角】椭圆:双曲线:一、焦半径与焦点弦ABF1MNF2ABF1MNF2【焦半径——椭圆】分析：如上左图,分析：如上右图,ABF1MNF2MNBF1F2A分析：如上左图,分析：如上右图,AF1F2MBNAF1F2MBN【焦半径——双曲线】内部焦点半径ABMNMANB外部焦点半径M‘MN’NBAM’MANN‘B分析：如上左图,分析：如上右图,同理可以推出:(也可从旋转的角度得出以下结论)M‘MN’NBA【焦半径——抛物线】从上图容易得出以下结论从上

3、图分析【焦半径与焦点弦有关推论】【推论1】——常用来求定值过椭圆、双曲线的一焦点F交椭圆或双曲线(单支)于A,B两点，则过双曲线的一焦点F的直线分别与两支交于A,B，与焦点轴夹角为过抛物线的一焦点F直线交抛物线于A,B两点，与焦点轴夹角为【推论2】————常用来求定角或斜率已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有ABF1MNF2ABMN【（1）分析证明】【（2）分析证明】MM‘ABN【焦半径与焦点弦有关例题】例1（2009年高考福建卷理科第13题）过抛物

4、线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿【解】由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。例2（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。【解】（1）这里，，由定理1的公式得，解得。（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，解得，即，所以①，又，设，代入①得，所以，所以，故所求椭圆方程为。例3（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿【解】易知均在右支上，因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所

5、以。由焦半径公式得，。例4（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿【解】因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，。例5（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿【解】设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。例6（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿【解】这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所

6、以。例7（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（）【解】这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。例8（2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。求四边形面积的最小值。图6【解】由方程可知，，则。设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴的夹角为。代入弦长公式得，，。故四边形的面积为，。所以四边形面积的最小值为。二、圆锥曲线中的焦点三角形面积【椭圆焦三角形】F1F2MmnEFP【分析】设

7、OM

8、=q【双曲线焦点三角形】【抛物线原焦弦三角形】

9、同样焦点在y轴上时三、圆锥曲线中的焦点三角形顶角问题【椭圆】【分析】也可利用向量来证明x的取值范围【双曲线】原理同椭圆,可求出x的取值范围【启发例题】MPQF1M’例点M是椭圆(a>b>0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．【解一】若等腰△PQM是直角三角形,则△PM’M是等腰直角三角形【解二】若等腰△PQM是直角三角形则PQ=2c