控制系统状态方程求解

《控制系统状态方程求解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章控制系统状态方程求解3－1线性连续定常齐次方程求解所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为：………………………………………………………(3－1)上式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n的常数矩阵。我们知道，标量定常微分方程的解为：………………（3－2）与（3－2）式类似，我们假设（3－1）的解X(t)为时间t的幂级数形式，即：　………………………………(3－3)其中为与X（t）同维的矢量。将（3－3）两边对t求导，并代

2、入（3－1）式，得：上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即：即:……………………………………………（3－4）将系统初始条件代入（3－3），可得。代入（3－4）式可得：…………………………………………………………………（3－5）代入（3－3）式可得（3－1）式的解为：…………………………(3－6)我们记：……………………………（3－7）其中为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵。所以（3－6）变为：……………………………………………………………………（3－8）当（3－1

3、）式给定的是时刻的状态值时，不难证明：………………………………………………………………（3－9）从（3－9）可看出，形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(TheStateTransitionMatrix)，并记：……………………………………………………………（3－10）所以：　【例3－1】已知，求解：根据（3－7）式，3－2的性质及其求法性

4、质1：【证】根据的定义式（3－7），【证毕】　性质2：①②③【证】：①：根据(3－7)式，即有：②：由性质1及其关系①，③:由②式两边同时左乘，注意本身是一个n×n的方阵，，所以：即：从上式可知，矩阵指数函数的逆矩阵始终存在，且等于。【证毕】　性质3：若矩阵A，B可交换，即AB＝BA，那么，否则不成立。【证】根据（3－7）式的定义，比较上述两展开式t的各次幂的系数可知，当AB＝BA式，。【证毕】　性质4：【证】因为所以上式右边多项式中，由于t是标量，所以A可以左提或右提出来。所以：或由此可知，方

5、阵A及其矩阵指数函数是可交换的。【证毕】　性质4可用来从给定的矩阵中求出系统矩阵A，即：……………………………………………（3－11）【例3－2】已知某系统的转移矩阵，求系统矩阵A解：根据（3－11）式　性质5：若矩阵A为一对角阵，即A=，那么也是对角阵，且【证】按照（3－7）定义式，并注意所以有：【证毕】　性质6：若n×n方阵A有n个不相等的特征根，M是A的模态矩阵，，则有：……………………………………………………………………（3－12）【证】考虑齐次方程的解，其解为：………………………………

6、……………………………………（3－13）我们对齐次方程作线性变换X＝MZ，则有：，即：，且，所以：即，两边左乘M得：…………………………………………………………………（3－14）比较（3－13）和（3－14），因此有:上式经常用来求。【证毕】【例3－3】已知，求解：所以的特征向量满足：求得：同理，，求得：所以，模态阵，根据（3－12）式，　性质7：若为mi×mi的约当块，即那么有：……………………………………………（3－15）【证】不难验证，AB＝BA，即A，B可交换。所以根据性质3，又根据性质

7、5，又根据（3－7）：　性质8：若约当标准型矩阵式中为mi×mi阶约当块，那么：………………………………………………………(3－16)(证明略)。　性质9：若n×n阶矩阵A有重特征根，是将A转化为约当标准型J的变换阵，即，那么有：…………………………………………………………………………（3－17）（证明略）。（3－17）式经常用来求有重特征根的矩阵的。　【例3－4】已知，求解：根据第二章有关内容，可知：设，则得：得：得：，根据（3－17）式：　性质10：设A=,B=,则有==*=（证略）。　性质

8、11：矩阵指数可表示为有限项之和＝……………………………………………………………………………（3－18）其中当A的n个特征根互不相等时，满足：＝……………………………………………………(3－19)即满足：……………………………………（3－20）若A有n重特征根，不妨设为重根，这时（3－20）只有个独立方程，剩下的个方程，可由下列关系添加：　………………………………………………………………………………………（3－21）【证】下面只证明A有n个不相等特征根的情况。根据凯利－哈密顿(Cayley－Ha