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1、第十二章数项级数1讨论几何级数的敛散性.解当时,.级数收敛;当时,级数发散;当时,,,级数发散;当时,,,级数发散.综上,几何级数当且仅当时收敛,且和为(注意从0开始).2讨论级数的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数的敛散性.解设,,,.,.因此,该级数收敛.4、讨论级数的敛散性.解,.级数发散.5、证明级数收敛.证显然满足收敛的必要条件.令,则当时,有注:应用Cauchy准则时，应设法把式
2、
3、不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，确定.6、判断级数的敛散性.(验证.级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)7
4、、证明调和级数发散.证法一(用Cauchy准则的否定进行验证)证法二(证明{}发散.利用不等式.即得，.)注:此例为但级数发散的例子.8、考查级数的敛散性.解有9、判断级数的敛散性.解.10、讨论级数的敛散性.解因为.因此,当时,;时,;时,级数成为,发散.11、判断级数的敛散性.注:对正项级数，若仅有，其敛散性不能确定.例如对级数和,均有，但前者发散,后者收敛.12、研究级数的敛散性.解.13、判断级数和的敛散性.解前者通项不趋于零,后者用根值法判得其收敛.14、讨论级数的敛散性.解考虑函数0时在区间上非负递减.积分
5、当时收敛,时发散级数当时收敛,当时发散,当时,,级数发散.综上,级数当且仅当时收敛.15、判别级数的敛散性.解当时,由Leibniz判别法收敛;当时,通项,发散.16、设.证明级数和对收敛.证，时，.可见时,级数的部分和有界.由Dirichlet判别法推得级数收敛.同理可得级数数收敛.17、若收敛，证明也收敛。证明：由于收敛，因而，收敛于0，故，存在N，使得n>N时，，因而，n>N时，，故，由比较判别法得：收敛。18、证明：若收敛，则收敛。证明：由于收敛，则由Cauchy收敛准则，对，存在N，当n>N时，对任意的正整数
6、p，成立，因而，，再次用数列收敛的Cauchy收敛准则得：收敛。19、若收敛，则发散。分析证明级数的发散性，首选工具是级数收敛的必要条件。证明：由于收敛，故，因而，，故，发散。20、判断下列具体级数的敛散性1、；2、；3、；4、；5、；6、。分析对具体的级数，按照判别敛散性的一般程序，先考察通项的极限，在通项极限为0的情形下，考虑比较判别法，常用的作为比较的级数的形式为、，通过对通项的结构分析，选择合适的对比级数，此时，已经学习过的数列的速度关系或阶的关系，有利于我们确定对比级数；对通项中含有n幂次或n！形式的级数常用
7、Cauchy判别法或D’Alembert判别法，更复杂的题目则需选用更精细的判别法。解、1）、，不收敛于0，此时，级数发散；时，，由比较判别法得收敛。2、分析结构，发现对比级数为的形式，只需比较通项收敛于0的速度。由于对任意的p>0,,故，由比较判别法可知：发散。3）、通项含有阶层形式，故采用比值判别法。记，则，故，该级数发散。4）、由通项结构为n幂次形式，采用Cauchy判别法。记，则，故，由Cauchy判别法知该级数收敛。5）、由通项结构可知用D’Alembert判别法。记，则，故，该级数发散。6）、用Cauchy
8、判别法。记，则，故，该级数收敛。21、判断下列具体级数的敛散性。1）、2）、3）、分析通项为积分形式的级数敛散性的判别，通常有3种方法：1、利用积分判别法，转化为广义积分的敛散性，此时通项常具有形式递增趋于。2、直接计算积分转化为一般形式的数项级数。3、通过对积分进行估计，用比较判别法判断，此时通项常具有形式，其中单减趋于0。在上述3种方法中，常用1、3两种方法，这是考点。解：1）、从类型看，适用于第一种方法。此级数与广义积分具相同的敛散性，由于收敛，因而由比较方法，收敛，故，该级数也收敛。2）、典型的第3种方法处理的
9、题型。由于积分上限趋于0，考察被积函数在0点附近的性质，由于时，，因而，，故此级数应收敛。上述可以视为结构特征分析，知道了结构特征，具体的验证方法可以灵活选择，下面的方法属于直接比较法。对充分大的n，当时，，故，且级数收敛，因而，原级数收敛。当然，用比较方法的极限形式更直接，如由于，因而，原级数收敛。注、我们选择作为对比级数，是由于结构特征分析为选择判断标准提供了依据，而数列极限的连续化处理使得我们能够利用高级的极限计算方法如L’Hospital法则。3）、与2）类似，当n充分大时，，故收敛。或者计算方法或者，都可以得
10、到级数的收敛性。22、判断敛散性1）、2）、分析典型的积分判别法处理的题型结构。解：1）、由于，因此，由积分判别法，该级数发散。2）、分析结构特点，，由积分判别法发散，故原级数发散。事实上，由于，故，和具有相同的敛散性，由于，因而，由积分判别法，原级数发散。24、判断敛散性1）、；2）、；3）、。分析这类题目较难，因为所用到的是分
