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1、实验二 MATLAB数值计算：二阶电路的时域分析一、实验目的在物理学和工程技术上，很多问题都可以用一个或一组常微分方程来描述，因此要解决相应的实际问题往往需要首先求解对应的微分方程(组)。在大多数情况下这些微分方程(组)通常是非线性的或者是超越方程(比如范德堡方程，波导本征值方程等)，很难解析地求解（精确解），因此往往需要使用计算机数值求解（近似解）。MATLAB作为一种强大的科学计算语言，其在数值计算和数据的可视化方面具有无以伦比的优势。在解决常微分方程(组)问题上，MATLAB就提供了多种可适用于不
2、同场合(如刚性和非刚性问题)下的求解器(Solver)，例如ode45，ode15s，ode23，ode23s等等。本次实验将以二阶线性电路-RLC电路和二阶非线性电路-范德堡电路的时域计算为例，了解和学习使用MATLAB作为计算工具来解算复杂的微分方程，以期达到如下几个目的：1.熟练使用dsolve函数解析求解常微分方程；2.熟练运用ode45求解器数值求解常微分方程；3.了解状态方程的概念，能使用MATLAB对二阶电路进行计算和分析；二、实验预备知识1．微分方程的概念未知的函数以及它的某些阶的导数连
3、同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程（Ordinarydifferentialequations，简称odes）。n阶常微分方程的一般形式（隐式）为：（1）其中t为自变量。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，否则就是非线性微分方程，例如方程就是非线性的。 2．常微分方程的解及MATLAB指令一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已知一个n阶常微分方程（显式）：（2）若令，可将上式化为n个一阶常微分方程组：（3）（3）式称为状
4、态方程，y1,y2,…,yn（即y,y¢,y¢¢,…,y(n-1)）称为状态变量，其中y1（即y）就是常微分方程(2)式的解。(3)式中右边的函数f1、f2、…、fn代表各个状态变量的一阶导数的函数表达式，对于具体的方程它们有具体的形式，例如下列二阶非线性微分方程：若令，可将其改写成2个一阶微分方程组(状态方程)的形式：因此。l解析解只有少部分的线性常微分方程可以解析地求解（即可以算出精确的解表达式），例如一阶常系数常微分方程可以通过直接积分解出，而多数微分方程尤其是非线性方程则很难得到解析解。有解析解
5、的方程虽然可以手算解出，但是MATLAB也提供了dslove指令来求方程的解析解，其使用格式：S=dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,’初始条件1’，’初始条件2’…,’自变量’) 方程用字符串表示，自变量缺省值为t。1阶导数用D表示，2阶导数用D2表示，以此类推。S用于返回方程解析解的表达式。如果是求解方程组，则S为一个结构体数组，它的每个域存放方程组每一个解的表达式。例1：求下列微分方程的解析解>>s=dsolve(’D2y=sin(2*x)-y’,’y(0)=0’,’Dy(0)=1’,’x’
6、);>>simplify(s) %以最简形式显示sans=-1/3*sin(x)*(-5+2*cos(x))%方程的解（符号表达式）l数值解对于没有解析解的方程主要依靠计算机进行数值求解（得到的是近似解），例如方程就须通过计算机数值求解（结果是一系列解的数值而非表达式）。考虑n阶微分方程（2）式的数值求解，它等价于一阶常微分方程组(3)式。现将(3)式写成矩阵形式：其中为n个分量的列向量(Columnvector)，也称状态向量n个分量的列向量，其每个元素分别为(3)式右边的函数表达式我们知道，微分方程
7、要有唯一的确定解，必须给定初值条件。因此方程(4)式要有确定的解必须给定初值条件(t0为初始时刻)：（7）Matlab提供了ode45指令（ode是常微分方程的英文缩写）来求解方程(4)的数值解（近似解）。基本使用格式：[tout,Yout]=ode45(odefun,tspan,Y0,options)其参数说明如下：①odefun一般是用M文件编写的函数，odefun代表函数名，由用户自己定义。函数返回值为(4)式右边的F(t,Y)=（f1,f2,…,fn）T。故odefun函数的返回值应是列向量，其
8、最简单的编写格式为：functionF=odefun(t,Y)【作用是计算并返回4式中的F(t,Y)】其中t时间变量，为标量，代表计算进程中的某时刻点Y代表状态变量的列向量(即5式)F返回值F(t,Y)，为列向量（见6式）ode45求解指令在计算时将会不断地在各个时间点调用odefun函数，并自动给输入参数t和Y赋值。②tspan指定方程的求解区间[t0,tf]，t0是初始时刻。③Y0用户给定的初值条件，为n个分量的列向量，见(7)式。④o
