微积分学中辅助函数的构造探索总结

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1、微积分学中辅助函数的构造探索总结邱烨，高战，高亚茹中国矿业大学计算机科学与技术学院，徐州(221008)摘要：构造辅助函数是数学分析中解决问题的重要方法，在解决实际问题中有广泛应用．通过研究微积分学中辅助函数构造法，构造与问题相关的辅助函数，从而得出欲证明的结论．本文介绍了构造辅助函数的概念及其重要性，分析了构造辅助函数的原则，归纳了构造辅助函数的几种方法，并研究了构造辅助函数在微积分学中的重要作用和应用技巧。关键词：微积分辅助函数中值定理0引言当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而

2、构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数．辅助函数构造法是数学分析中一个重要的思想方法，在数学分析中具有广泛的应用．构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解．微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法．通过查阅现有的大量资料发现，现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多，其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路，但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用．通过构造辅助函数，可以解决数学分析中众多难题，

3、尤其是在微积分学证明题中应用颇广，且可达到事半功倍的效果．1.构造辅助函数的原则构造辅助函数把复杂的问题转化为已知的容易解决的问题，这是微积分中的一种重要解题方法，为了更好地掌握此方法，我们通过对微积分学中的一些问题的分析，探讨构造辅助函数的两个原则．1.1将未知化为已知在微积分学中许多命题的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成．比如，下面例1.1的证明就是对连续函数的性质进行分析，构造辅助函数，转化为利用已知的零点定理加以证明．例1.1[1]设在上连续，且，求证：，使．证明作辅助函数，

4、，则由在上连续知在连续，因为，所以，(1)若，则取或即可．(2)若，则，由零点定理知，使，即．1.2将复杂化为简单一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形，由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的，这种通过巧妙的数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，是微积分学中的重要而常用的数学思维方式．例如下面例1.2的证明中，可先做一次恒等变形，即将证明的结论变形为：直接思考哪个函数求导后为，发现不易找到这个函数．进一步考虑除以一个非零因子，不难发现所证结论可变形为因此，找到了辅助函数．例1.

5、2[2]设，都在上连续，在内可导，且，，求证：在内存在一点，使得．证明作辅助函数，因为，都在上连续，在内可导，所以有在上连续，在内可导，且显然有，由罗尔定理可知，在内存在一点使得，即．命题得证．总之，在利用构造辅助函数解决命题的过程中，考虑将未知化为已知，将复杂化为简单，将两点融合在解题过程中．在下文研究中几乎都能体现到这两点的融合。1.构造辅助函数的方法探讨用辅助函数解决数学问题，是高等数学中常用的方法之一，如果能用好辅助函数，则轻而易举就能给出证明过程．为了更好地利用辅助函数，在此给出几种寻求辅助函数的常见方法．2.1原函数法在利用微分中值

6、定理求解介值问题时，要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点，因此可通过不定积分求出原函数作为辅助函数，其步骤可以总结如下：(1)将欲证的结果中的换成；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号形式；(3)用观察法或积分法求出原函数，为简便积分，常数取作零；(4)移项使式子一边为0，则另一边即为所求的辅助函数．例2.1[3]函数和在闭区间上存在二阶导数，，并且，求证：在开区间内至少存在一点，使成立．分析题中的结论相当于证明用替换，得，积分后得即由此联想到构造辅助函数．证明作辅助函数，则在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知，存在一点，使得，即．

7、从而得出．例2.2[4]设，在上二阶可导，且，，求证：存在一个，使得．分析题中结论相当于证明用替换得积分后得得辅助函数．证明作辅助函数显然在上连续，在内可导，又可知满足罗尔定理的条件，于是存在，使，即故．例2.3[5]设在上连续，在内可导，则在内至少存在一点使．分析本题要证明，即证：至少存在一点，使，用替换得，积分后得辅助函数．证明作辅助函数则在上连续，在内可导，且所以．根据罗尔定理可知，至少存在一点使，即．2.2常数值法常数值法适用于常数部分可分离出的命题，其构造辅助函数的步骤如下：①将常数部分令作；②作恒等变形，使等式一端及构成代数式，另一

8、端及构成代数式；③分析关于端点的表达式是否为对称式，若是，只要将端点(或)改成，相应的函数值(或)改成，则变量后的端点表达式即为所求的辅助函数．例2.