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1、脉冲微分方程组的部分变元有界性第24卷第3期2011年9月仲恺农业工程学院JournalofZhongkaiUniversityofAgricultureandEngineeringVo1.24,No.3September,2011脉冲微分方程组的部分变元有界性顾明哲,冯伟贞(华南师范大学数学科学学院,广东广州510631)摘要:得到了脉冲微分方程组关于部分变元存在上下界以及关于不同变元不同程度有界的充分判据,并给出了例子,强调脉冲扰动对系统解有界性的影响.关键词:脉冲微分方程组;有界性中图分类号:0175.1文献标
2、识码:A文章编号:1674—5663(2011)03—0047—05PartialboundednessoftheimpnsivedifferentialequationsGUMing—zhe,FENGWei-zhen(SchoolofMathematicalSciences,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510631,China)Abstract:Sufficientconditionsofupperandlowerboundanddifferentdegreeofboun
3、dednessofimpul—sivedifferentialequationswithrespectofpaaialvariableswereobtained,andanexamplewasprovided.Thenotableeffectofimpulseupontheboundedbehaviorofsolutionswasstressed.Keywords:impulsivedifferentialequations;boundedness1引言在多变元的微分系统中,不同变元具有不同性态,但目前关于部分变元有
4、界性质研究的成果并不丰富,主要运用微分积分不等式法技巧¨或在双测度平台中【3-4]借助V函数(或泛函)建立部分变元稳定性及有界性的充分判据,但其中能反映不同变元的不同特性的成果极罕见.这里讨论带扰动项的脉冲微分系统=A(t)y+C()+y(t,y,)≠t三=D()),+()+z(,y,z)≠(1)Y()=AY()+OLz()=B(t)+部分变元有界性.2脉冲微分方程组的部分变元有界性系统(1)对应的线性脉冲方程组=A(t)y+C(t)z,t≠t三=D()y邶()z,≠(2)Y(z)=AY()+()=B.()+以及其对
5、应的无脉冲方程组』=A()y+c()2,(3)?～J,【=D(t)Y+(t)z其中A(t)为m×m函数矩阵,B(t)为(n—rn)×(n—m)函数矩阵,C()为m×(n—m)函数矩阵,D(t)为(n—m)×m函数矩阵,y(t,y,),z(t,Y,z)是R+×R×R上的连续函数,为m×m矩阵,B^为(n—m)×(n—m)矩阵,ot=(or1,or2,…,or),/3k=(or()k,or(+2)k,…,or).记Ec=(),ct=(:;),c=(三),=(),定义ct,,.=(y(t,t0,0),(t,0,X0)):(
6、l(￡,t0,o),2(t,to,.),…,(t,t.,.)),为上述系统满足初始条件(.)=.的解.其中Y(t,t0,0)=(l(t,t0,o),2(t,f0,0),…,m(t,t0,0))了,(t,t0,0)=(m+l(t,t0,0),m+2(t,t0,0),…,(t,t0,0)),m≤n,m∈N.对于任意m×n矩阵A=(a,),记A的模为:ll=(E∑口)寺.收稿日期:2011—06—30作者简介:顾明哲(1985一),男,辽宁丹东人,在读硕士研究生.E-mail:gumingzhe2000@163.COrn仲
7、恺农业工程学院第24卷对于脉冲微分系统解的存在唯一性问题,目前已有详细证明,本文总假设上述系统存在唯一解.定义1:若函数∈C[R+,R+]是连续的严格单调上升函数,且有(O)=0,称是Kamke函数,记为∈K.定义2:定义在R+×R上的函数沿系统=.厂(t,)解的右上导数为:D(t,)=lim÷((t+,+hat,))一(,)).定义3:若存在M>0(M>0),使得对(1)式的解满足:lly(t,t0,0)II≤(1JY(,t0,o)lI≥丝),t≥to,则称系统(1)的解关于部分变元y存在上界M(下界)
8、.定义4:若Vt.∈R+,Vx0∈R,对(1)式的解满足:liray(t,t.,.)=0,则称系统(1)的解关于部分变元Y趋零有界.(由趋零性易证y(t,￡0,0)在[t0,+o.)上有界).定义5:若Vt0∈R+,V‰∈R,存在M>0,A>0,对(1)式的解满足:l1Y(t,t0,‰)I1≤Me.^",t≥to,则称系统(1)的解
