经济数学——微积分——中值定理的答案

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1、第四章中值定理，导数的应用§4.1中值定理一、单项选择题1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是(A).(A)(B)(C)(D)2、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理条件的是(B).(A)(B)(C)(D)3、函数在上满足拉格朗日中值定理的(B).(A)(B)(C)(D)4、设是内的可导函数，是内任意两点，则(C).(A)(B)在之间恰有一点，使(C)在之间至少有一点，使(D)对于之间任意一点，均有5、设在上有定义，在内可导，则(B).(A)当时，存在，使得(B)对于任何，有(C)当时，存在，使得(D)存在，使得析：ABC均要求在上连续.二、证明题1

2、、已知在上连续，在内可导，且.求证至少存在一点，使.证明令，则，由题设知在上连续，在内可导，且.所以根据罗尔定理，至少存在一点，使得，即，从而.2、设在上连续，在内可导，.试证明存在两点，使得.证明令,则均在上连续，在内可导.且在内，.根据拉格朗日中值定理,至少存在一点，使得；又由柯西中值定理，至少存在一点，使得，即，亦即.所以存在两点，使得.3、用拉格朗日中值定理证明：时，.证明令，.显然在上连续，在内可导.根据拉格朗日中值定理,，即，又，所以当时，有.4、证明方程只有一个正实根.证明①存在性令，在上连续,，据零点定理，至少存在一点，使得，即方程至少有一实根.

3、②唯一性用反证法，假设方程有两个实根且，则有，又在上连续，在内可导，根据罗尔定理知，至少存在一点，使得，即，矛盾.所以只有一个实根.综合①②知，方程只有一个正实根.§4.2洛必达法则一、填空题1、；是型未定式.2、；是型未定式.3、；是型未定式.4、；是型未定式.5、；是型未定式.析：二、单项选择题1、设为未定式，则存在是也存在的(A)条件.(A)充分非必要(B)必要非充分(C)充要(D)既非充分也非必要2、求时，下列各种解法正确的是(C).(A)用法洛必达则后，求得极限为零(B)因为不存在，所以上述极限不存在(C)原式(D)因为不能用洛必达法则，所以极限不存在

4、3、下列求极限问题中，能够使用洛必达法则的是(C).(A)(B)(C)(D)三、用洛必达法则计算下列极限1、.2、.或.3、.4、,而，所以.5、.§4.3导数的应用（一）函数的单调性一、单项选择题1、函数在内(A).(A)单调增加(B)单调减少(C)不单调(D)不连续2、设，则的单调递减区间为(A).(A)(B)(C)(D)二、求函数的单调区间.解定义域，，令，得，列表如下：↗↘↗三、求函数的单调区间.解定义域，,令，得，又为的不可导点，列表如下：↗↘↗四、利用单调性证明不等式1、时，.证明令，则，，所以在内单调递增，于是有，从而在内单调递增，所以，即，亦即.

5、2、时，.证明令,则从而又有在内单调递增，所以，即，亦即.§4.3导数的应用（二）函数的极值一、单项选择题1、若函数的极值点是，则必有(D).(A)(B)不存在(C)(D)或不存在2、设，则是的(D).(A)间断点(B)可导点(C)驻点(D)极值点3、设，则在处(A).(A)必有极大值(B)必有极小值(C)没有极值(D)是否有极值不能确定析：,，即,,,在处取得极大值二、求函数的极值.解定义域，，令，得驻点，列表如下：↗极大值点↘所以的极大值为,无极小值.三、求函数的极值.解定义域，，令，得驻点，列表如下：不存在↗不是极值点↗间断↘极小值点↗所以的极小值为，无极

6、大值.四、试求为何值时，函数在点处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出该极值.解，据题设知，即，.,从而，所以是的极大值点，极大值.§4.3导数的应用（三）凸性与拐点一、单项选择题1、若在区间内，，则在该区间内(D).(A)单调减少，曲线是凹的(B)单调增加，曲线是凹的(C)单调减少，曲线是凸的(D)单调增加，曲线是凸的2、若点是曲线的拐点，则(B).(A)(B)(C)(D)3、曲线的拐点个数为(C).(A)(B)(C)(D)4、曲线的图形在(A).(A)内是凹的(B)内是凸的(C)内是凹的，内是凸的(D)内是凸的，内是凹的5、设在处连续，又，则(B).(A)

7、是的极小值点(B)是的极大值点(C)是曲线的拐点(D)不是的极值点，也不是曲线的拐点二、求曲线的凹凸区间与拐点.解定义域，，，令，得，列表得结论如下：拐点拐点三、已知曲线在点处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，试求的值，并写出该曲线的方程.解，由题设知，即，解得，所以曲线的方程为.§4.3导数的应用（四）函数图形的描绘一、填空题1、曲线有条渐近线，其方程为.2、曲线的垂直渐近线为，斜渐近线为.3、曲线有斜渐近线.4、曲线有垂直渐近线，斜渐近线.5、曲线有条渐近线.析：，是水平渐近线；是垂直渐近线.二、求函数的单调区间与极值及此函数曲线的凹凸区间与拐点，并求其渐近

8、线，作出函数的图形.解定