高中数学-变量间的相关关系与统计案例

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1、第六单元第3讲变量间的相关关系与统计案例（3课时）一基础知识1．相关关系的分类从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关．2．线性相关从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．3．回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2

2、)，…，(xn，yn)，其回归方程为＝x＋，则其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．4．样本相关系数r＝，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．(1)当r＞0时，表明两个变量正相关；(2)当r＜0时，表明两个变量负相关；(3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．（4）相关性检验的步骤：14①作统计假设②根据小概率0.05与n-2在附表中找出r的一个临界值r0.05③根据样本相关系数计算公式算出r值④用统计判断，如果，那么可以认为y与x之间的线性相关关系不显

3、著，从而接受统计假设.如果，表明一个发生的概率不到5%的事件在一次试验中竟发生了.这个小概率事件的发生使我们有理由认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，拒绝这一统计假设也就是表明可以认为y与x之间具有线性相关关系.5．线性回归模型(1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差．(2)相关指数用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：，的值越大（接近1），R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越

4、好．（2）r具有以下性质：（1）当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关；（2）当

5、r

6、≤1,并且

7、r

8、越接近1时，两个变量的线性相关程度越强；当

9、r

10、越接近0时，两个变量的线性相关程度越弱;（3）相关性检验的步骤：①作统计假设②根据小概率0.05与n-2在附表中找出r的一个临界值r0.05③根据样本相关系数计算公式算出r值④用统计判断，如果，那么可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，从而接受统计假设.如果，表明一个发生的概率不到5%的事件在一次试验中竟发生了.这个小概率事件的发生使我们有理由认为y与x之间不具有

11、线性相关关系的假设是不成立的，拒绝这一统计假设也就是表明可以认为y与x之间具有线性相关关系.6．独立性检验(1)用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量．例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等．(2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．14(3)一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：2×2列联表y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋dK2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，可利用独立性检验判断表来判断

12、“x与y的关系”．这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．当K2≥3.841时，则有95%的把握说事A与B有关；当K2≥6.635时，则有99%的把握说事件A与B有关；当K2≤2.706时，则认为事件A与B无关．三.题型分析题型1　相关关系的判断题1.某棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：施化肥量x15202530354045棉花产量y330345365405445450

13、455(1)画出散点图；(2)判断是否具有相关关系．[审题视点](1)用x轴表示化肥施用量，y轴表示棉花产量，逐一画点．(2)根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系．解　(1)散点图如图所示14(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系．利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较简便的方法．在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系．即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线

14、附近，变量之间就有线性相关关系．题2.根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________(填“是”与“否”)．解析　从散点图看，散点图的分布成团状，无任何规律