题型三_由数列的前n项和sn与通项an的关系求通项an

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1、题型三　由数列的前n项和与通项的关系求通项(推荐时间：30分钟)1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：为等差数列；(2)求an的表达式．1．(1)证明　∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，∴Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0.∵Sn≠0，∴－＝2(n≥2)．由等差数列的定义，可知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．(2)解　方法一　由(1)，知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.当n≥2时

2、，有an＝－2Sn·Sn－1＝－；当n＝1，a1＝，不满足上式，故an＝方法二　由(1)，知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝－＝－，当n＝1时，a1＝，不满足上式，故an＝例6（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。解：因为①所以②用②式－①式得则故所以③由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。例9已知数列满足，求数列的

3、通项公式。解：设⑧将代入⑧式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入⑧式，得⑨由及⑨式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，

4、代入上式得个等式累乘之，即又，（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型4（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先

5、在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例5:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数——迭加法）例4

6、，:数列：，，求数列的通项公式。由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。解法二（特征根法）：数列中，的特征方程是：。,。又由，于是故类型6递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以类型7解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比

7、数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得类型9解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。解：取倒数：是等差数列，类型14周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例：若数列满足，若，则的值为___________。（）变式:（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则=（）　　　（Ｂ）A．0B．C．D．类型11或解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列

8、求解。例：（I）在数列中，，求（II）在数列中，，求