上海大学05年高等代数考研题

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1、上海大学05年高等代数考研题一：基本题（以下每题10分9题共90分）1：设（），求在有理数域上的不可约因式并说明理由。2：设，，为6阶方阵,而且（为单位矩阵）,求和（的伴随矩阵）。3：设是非齐次线性方程组的一个解，是其导出组的一个基础解系．求证1）线性无关；2）线性无关。4：设，求此向量组的最大无关组，并将其他向量用最大无关组表示出来。5：设为阶复矩阵，如果，求证在复数域上与对角矩阵相似。6：设为实三阶对称矩阵，已知的三个特征值为1，1，，而且，如果为的特征向量，求。7：设为阶实对称矩阵，求证为正定矩阵（表示的转置）。8：若是反对称变换的不变

2、子空间，求证：（的正交补）也是的不变子空间。9：设为数域，为数域上阶方阵，且，．求证二：非基本题（以下每题12分，5题共60分）10：设，为阶方阵，为阶正交方阵，求证：。11：设（），求证：。12：设为阶实可逆矩阵，则为正定矩阵充分必要条件为存在阶上三角实可逆矩阵使。13：设是秩为的n阶矩阵，证明的充要条件是存在秩为的阶矩阵B和秩为的矩阵C，使且（为阶单位矩阵）。14：设为数域上维线性空间，设为上线性变换，为的值域，为的核。（1）：求证：；（2）：求证：充分必要条件为：。并举出这样的线性变换。注：表示空间的维数。1：设（），求在有理数域上的不

3、可约因式并说明理由。解：因为：，而且由Eisenstein判别法知道：不可约，所以,为的不可约因式2：设，，为6阶方阵,而且,求和（的伴随矩阵）。解：，，，。3：设是非齐次线性方程组的一个解，是其导出组的一个基础解系．求证1）线性无关；2）线性无关．解：1）：因为线性无关，如果相关，则可以由线性表示，则为的解与已知矛盾，所以无关。2）：如果相关，则有不全为0使：即有由1）知道矛盾，所以结论成立。4：设，求此向量组的最大无关组，并将其他向量用最大无关组表示出来。解：当时候，为最大无关组，此时当时候，为最大无关组，此时。5：设为阶复矩阵，如果，求

4、证在复数域上与对角矩阵相似。解：因为没有重根，而且为的化零矩阵，所以的最小多项式没有重根，所以可以对角化。6：设为实三阶对称矩阵，已知的三个特征值为1，1，，而且，如果为的特征向量，求。解：由已知可得=2，由于两个向量不正交，所以它们是特征值1的特征向量。由此可以知道为2的特征向量，此时设，则，所以7：设为阶实对称矩阵，求证为正定矩阵（表示的转置）。解：因为为阶实对称矩阵，所以半正定，又因为正定，所以结论成立。8：若是反对称变换的不变子空间，求证：（的正交补）也是的不变子空间。解：设，则，而且，由任意性知道与正交，所以，即是的不变子空间。9：

5、设为数域，为数域上阶方阵，且，．求证解：设，则，，而且，而且，所以知道而且为直和，反之由，知道，又因为，其中，显然，所以。10：设，为阶方阵，为阶正交方阵，求证：解：因为，而且：，所以结论成立。11：设（），求证：。解：设为非1单位复根。则由题意知：即有：利用范德蒙行列式有。即12：设为阶实可逆矩阵，则为正定矩阵充分必要条件为存在阶上三角实可逆矩阵使。解：正定充分必要条件为，其中可逆，由可逆知道，存在上三角实可逆矩阵和正交矩阵使，由此正定充分必要条件。13：设是秩为的n阶矩阵，证明的充要条件是存在秩为的阶矩阵B和秩为的矩阵C，使且。解：因为是

6、秩为的n矩阵，所以存在秩为的阶矩阵B和秩为的矩阵C，使，如果，则，所以，由此，反之显然。14：设为数域上维线性空间，设为上线性变换，为的值域，为的核。（1）：求证：；（2）：求证：充分必要条件为：。并举出这样的线性变换。注：表示空间的维数。解：（1）：因为由，所以有：则（2）：由（1）知道充分必要条件为：，所以有。例如：，为的基，定义，则满足要求。