[上海大学]上海大学高等代数历年考研真题xxxx-xxxx

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1、2000上海大学高等代数(一)计算行列式:(二)把二次型用非退化线性替换化成平方和.(三)分别为和矩阵,表示单位矩阵.证明:阶矩阵可逆当且仅当可逆，可逆时求出的逆.(四)设是维线性空间的一组基，对任意个向量，证明：存在唯一的线性变换，使得(五)设是维线性空间的线性变换，求证：当且仅当若为的一组基则是的一组基.(六)设为级实方阵，适合，求证：相似于.(七)已知均为线性空间上线性变换，满足试证：（1）与有相同的值域.（2）与有相同的核.2001上海大学高等代数（一）计算行列式：（二）设为阶非零方阵，且.14（1）求证：存在，，（2）求方程组的基础解系.（三

2、）用正交的线性替换化二次行为标准形（四）设为阶实矩阵，且.若，求证.（五）设是（为奇数）维线性空间上线性变换，若求证：存在，使为的一组基，并求在此组基下的矩阵.（六）设是欧式空间上的对称变换.求证：对任意，都有的所有特征值都小于0.（七）设，其中为阶负定矩阵，为维列实向量，为实数.求证正定的充分必要条件为.（八）若是正交阵，且特征值为1的重数是，求证：（为的行列式）.2002上海大学高等代数（一）计算行列式：若，求.（二）设是阶可逆方阵，.（1）计算（是整数），14（2）假设，为阶方阵，而且，求.（三）设，是阶矩阵（），求的基础解系.（四）构造一个阶实

3、对称方阵，使其特征值为1，1，-1.并且对应的特征值有特征向量，.（五）设向量组：的秩为（），则中任意个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量，若，则或全为0或全不为0.（六）设为阶正定矩阵，为秩为的实矩阵，求证（，为单位矩阵）为正定矩阵.（七）设为欧式空间上的线性变换，且.（1）求证：是上的正交变换的充分必要条件为是上的对称变换.（2）设，求证：是直和.（八）设为阶实正交矩阵，为维列向量，且线性无关，若线性无关，则.2003上海大学高等代数（一）计算行列式：（为阶矩阵），（1）求（2）求（二）设为阶反对称矩阵，求.14（三）设为阶整数方阵（中元素为

4、整数），若（1）求证：，（2）若，求.（四）设为阶方阵，，且，求的解.（五）设是阶可逆方阵，且每行元素之和为，求证：的每行元素之和为（为正整数）（六）设为阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵使.（七）设，且为阶方阵，.（1）求证：（2）求证：（3）若，求的解.（八）构造一个阶实对称方阵，使其特征值为2，1，1，且有特征向量.（九）设二次型（1）求对应的实对称矩阵.（2）求正交变换，将化为标准型.（十）设是维线性空间上的线性变换，是对应的不同特征值的特征向量.若，而是的不变子空间，则有维（）（十一）设为欧式空间上的变换，为欧式空间上的线性变换且有：.证明：

5、（1）为欧式空间上的线性变换.（2）142004上海大学高等代数（一）设阶可逆方阵中每一行元素之和为，证明：（1），其中为的代数余子式.（2）如果都是整数，则整除.（二）设为实矩阵，且.（1）求行列式.（2）求的解（是维列向量）.（三）设为阶整数方阵，若.（1）求证：.（2）若，求.（四）若为非零的半正定矩阵，为正定矩阵，求证：（1）求证：存在实矩阵，使.（2）.（3）.（五）设为的特征值的最小者.求证:对任意的维列向量,有.(六)设为阶方阵的特征值,且分别为其对应的特征向量,求.(七)是维欧氏空间,是维空间上的线性变换,如果是中个线性无关的向量,且分

6、别与正交(不为0).求证:为的特征向量.14(八)设，求证：（1）（2）题型与钱吉林书习题类示。（九）设为数域，为数域上阶方阵，且，求证：。（十）设，为阶方阵，为阶正交方阵，求证：（十一）设求证：。（十二）设为阶实可逆矩阵，则为正定矩阵充分必要条件为存在阶上三角实可逆矩阵，使。（十三）设为秩为的阶矩阵，证明：的充要条件是存在秩为的阶矩阵和秩为的矩阵，使且。（十四）设为数域上维线性空间，设是维线性空间上的线性变换，为的值域，为的核。（1）求证：维，（2）求证：维充分必要条件为：，并举出这样的线性变换。2005上海大学高等代数（一）已知，求在有理数域上的不

7、可约多项式并说明理由。14（一）已知，是阶方阵，。求和。（二）是方程组的一个解，是其导出组的一个基础解系。求证：（1），线性无关，（2）也线性无关。（四）同2007年第一大题.（五）是复矩阵，，求证：在复数域上相似于一个对角阵。（六）是阶实对称方阵，，是的特征值，，是对应的特征向量，求矩阵。（七）是反对称变换的不变子空间，求证：也是的不变子空间。（八）已知是阶实对称方阵，求证：正定。（九）是矩阵的全体，已知，求证：的充分必要条件为。（十）已知，求证：。（十一）设求证：。（十二）是阶实对称方阵，证明：正定的充要条件是存在实阶上三角阵，使。（十三）是阶矩阵

8、，是阵，。求证：的充要条件是且。（十四）是维线性空间的象，是的核。求证：（1），14（2）的充