矩阵论解题技巧概述

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1、解题技巧第一章矩阵的相似变换1.判断矩阵A是否是正规矩阵，若果是，则求酉矩阵，使为对角矩阵。理论依据：（1）A酉相似于对角矩阵的充要条件是A为正规矩阵（即：）。（2）Hermite矩阵（)，实对称矩阵，对角矩阵等常用矩阵都是正规矩阵。注：酉矩阵A（，），：先转置，再共轭（虚部取反）。结论：所以判断矩阵A是否是正规矩阵，只需判断是否成立，若成立，则存在酉矩阵，使为对角矩阵。（当矩阵中都为实数时，)解题步骤：（1）由A为Hermite矩阵（)或实对称矩阵，推出A为正规矩阵。（2）由求得矩阵的特征值，并求出相应的特征向量。（3）对特征向量先正交化（不同特征值之间的特征向

2、量两两正交，无需正交化。只有在重根所对应的特征向量之间需要正交化）；然后再单位化（当特征值都不同时只需正交化即可）。正交化公式：(4)得酉矩阵U(为单位化之后的向量组成的矩阵），对角矩阵（为特征值所组成的对角矩阵)。（注：内积计算公式：，尤其注意虚数的计算）2.求解矩阵的最小多项式。理论依据：（1）最小多项式包含A的所有互不相同的特征多项式的因式。（2）特征多项式必须是零化多项式。（3）设，是所有互不相同的特征值，则：，其中是的标准型中含的Jordan块的最高阶数。解题步骤：（1）先求出的特征多项式（2）由公式求得（注意是ALLCOPYRIGHTRESERVEDB

3、Y517717063矩阵论考试100分攻略的标准型中含的Jordan块的最高阶数）。2.求矩阵的Jordan标准型理论依据：（1）一阶矩阵块，阶矩阵块（2）由若干个Jordan块构成的分块对角矩阵称为Jordan矩阵：（3）设，则与一个Jordan矩阵相似，即存在，使。（Jordan矩阵除Jordan块的排列次序由唯一确定）称为的Jordan标准型。解题方法：特征向量法（适用于3阶及以下矩阵)（1）如果是的单根特征值，则对应一阶Jordan块；（2）如果是的重特征值，则对应有几个线性无关的特征向量，就有几个以为对角元素的Jordan块；这些Jordan块的阶数之和

4、等于。（3）由的所有特征值对应的Jordan块构成的Jordan块矩阵即为的Jordan标准型。4.求解一阶线性微分方程组如（）（1)构造函数模型令，，，则（2)求Jordan标准型和相似变换矩阵由特征多项式得特征值。对应的重根特征值只有一个线性无关的特征向量，故ALLCOPYRIGHTRESERVEDBY517717063矩阵论考试100分攻略的相似Jordan标准型为：由，求得对应特征值为1的广义特征向量所对应的特征向量，故相似变换矩阵，使得（3）令，则，解微分方程得，然后由得到解令，即。解得。故技巧：广义特征向量的求法：第一步：由等式，可得含相应广义特征向量

5、的等式；第二步：对由等式构成的增广矩阵进行行变换，求得通解，得到广义特征向量。关于重特征根的特征向量的几种情形：情形一：3阶矩阵具有二重特征根，且有两个线性无关的特征向量与之对应。由进行行变换，即可得到两个线性无关的特征向量，。情形二：3阶矩阵具有二重特征根，但只有一个个线性无关的特征向量与之对应。由进行行变换，得到一个线性无关的特征向量，再由求得广义特征向量。情形三：3阶矩阵具有三重特征根，且有两个线性无关的特征向量与之对应。ALLCOPYRIGHTRESERVEDBY517717063矩阵论考试100分攻略由进行行变换，可得到两个线性无关的特征向量，。但此时不

6、成立，故要重新选择：这里设，再根据对增广矩阵进行行变换得到的关系，从而得到，以及特征向量。5.计算矩阵的幂。理论依据：（1）直接计算比较困难，如果可对角化，即存在。求的方幂就变得容易。（2）由求得。解题步骤：（1）求的相似变换矩阵和对角矩阵（2）求的逆阵（3）求6.计算矩阵多项式。（如计算，见书)理论依据：（1）Hamilton-Cayley定理：设，，则（2）长除法（这里两者配合使用）解题步骤：（1）求（2）令（3）计算，求得（4）由Hamilton-Cayley定理知，于是ALLCOPYRIGHTRESERVEDBY517717063矩阵论考试100分攻略第三

7、章矩阵分析1.矩阵函数值（)的计算方法论：（这里以小于等于3阶的矩阵为例）（1）如果3阶矩阵的特征值多项式为两个重根和另一特征根（或为三重根），则采用待定系数法。（2）如果3阶矩阵的特征值多项式为三个不同的特征值，则采用相似对角化法。（3）如果矩阵为2阶矩阵，则可采用待定系数法或Hamilton-Cayley定理。相似对角化法：（1）求矩阵的相似变换矩阵，和对角矩阵（由矩阵的特征值组成）（2）由解得解得待定系数法：核心是由多项式.情形一：矩阵为3阶2重根（以为例，其中矩阵为变量）解题步骤：（1）计算特征多项式：.（2）设多项式，根据，列方程组解系数：设次数为次的多

8、项式，有解