高考数学解答题专项突破系列（六）概率与统计的综合应用问题

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1、热点题型1　统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的分析进行统计、抽象概括，做出估计与判断．常与抽样方法、频率分布直方图、茎叶图、概率等知识交汇考查，考查考生的数据处理能力和运算求解能力．　　(2018·合肥质检)为了调查学生星期天晚上学习时间的利用问题，某校从高二年级1000名学生(其中走读生450名，住宿生550名)中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学星期天晚上学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下区间分为八组：①[0,30)，②[30,60)，③[6

2、0,90)，④[90，120)，⑤[120,150)，⑥[150,180)，⑦[180,210)，⑧[210,240)，得到频率分布直方图如图．已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．(1)求n的值并补全频率分布直方图；(2)如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：利用时间充分利用时间不充分总计走读生住宿生10总计据此资料，是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？(3)若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时

3、间的原因，求抽出的2人中第①组、第②组各有1人的概率．参考数据：P(K20.0.0.0.0.0.0.≥k0)151005025010005001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.解　(1)设第i组的频率为Pi(i＝1,2，…，8)，由图可知P1＝×30＝，P2＝×30＝，∴学习时间少于60分钟的频率为P1＋P2＝，由题意得n×＝5，∴n＝100.又P3＝×30＝，P5＝×30＝，P6＝×30＝，P7＝×30＝，P8＝×30＝

4、，∴P4＝1－(P1＋P2＋P3＋P5＋P6＋P7＋P8)＝，∴第④组的高度为h＝×＝＝，频率分布直方图如图．(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“住宿生”有55人，“走读生”有45人，利用时间不充分的有100×(P1＋P2＋P3＋P4)＝25(人)，从而2×2列联表如下：利用时间充分利用时间不充分总计走读生301545住宿生451055总计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝＝＝≈3.030.∵3.030<3.841，∴没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关

5、．(3)由题可知第①组人数为100×P1＝2(人)，第②组人数为100×P2＝3(人)，记第①组的2人为A1，A2，第②组的3人为B1，B2，B3，则“从5人中抽取2人”所构成的基本事件有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3”，共10个基本事件；记“抽取2人中第①组、第②组各有1人”记作事件A，则事件A所包含的基本事件有A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，共6个基本事件，∴P(A)＝＝，即抽出的2人中第①组、第②组各有1人

6、的概率为.热点题型2　概率与统计的综合以实际问题为背景，利用频率估计概率，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率及其分布列等知识交汇命题，考查考生分析问题及解决问题的能力．　　(2017·江西新余模拟)2016年10月21日，台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县(市、区)189.9万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据(单位：元)分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,1000

7、0]五组，并作出如图所示的频率分布直方图．(1)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元有关；(2)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记抽取的3户居民中自家经济损失超过4000元的户数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)

8、．K2＝.解　(1)由频率分布直方图可得，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，补全表格数据如下：则K2＝≈4.762.因为4.762>3.841.所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元有关．(2)由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过4000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知