关于复变函数在解决实函数问题中的若干应用

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1、题目：关于复变函数在解决实函数问题中的若干应用摘要：实函数和复函数的贯穿于我们高中和大学的数学之中，我们通过学习了解了部分实函数和复函数的知识点，我们发现这些知识点有着深刻的联系。我们知道复函数分为实部和虚部，那么我们研究能不能把要求的实函数当做一个复函数的实部或虚部，进而利用复函数的知识来处理有关实函数的问题。关键词：实函数复函数构造求解复变函数论中的柯西-黎曼方程、柯西积分，解析函数的幂级数表达式，牛顿莱布尼茨公式等，那么它与我们经常使用的实函数有什么关系，其相关知识点能否运用在实函数的解题上面，下面我们将从几个方面来探究其在实函数上的应用。1预备知识定理1若（1

2、）函数在单连通区域D内连续；（2）沿区域D内任一圆周的积分值为零（从而积分与路径无关），则函数（为D内一定点）在D内解析，且.定义2在区域D内，如果函数连续，则称符合条件（）的函数为的一个不定积分或原函数（显然必在D内解析）。定理3在定理（1）或定义（2）的条件下，如果为的单连通区域D内的任意一个函数，则定理4设为的阶极点，，其中在点解析，则9这里，。引理1（若当引理）设函数沿版圆周（充分大）上连续，且在上一致连续，则。引理2设沿圆弧（，充分大）上连续，且于上一致成立，则有引理2欧拉公式：引理3（1）（2）（3）（4）（5）2在求实函数的不定积分中的应用在解决类型如的

3、实函数的不定积分时，我们往往采用的是分部积分法，其过程往往复杂且容易出错，但是通过我们学习过的复积分能方便的解决这些问题。我们已知9，我们能不能通过构造一个复积分的问题来解决这个问题例2.1计算积分此时我们添加一个辅助函数====+====此时=由此可以看出复函数积分可以快速解决形如的问题，但是其解决的问题只是我们常见问题中的很小一部分，我们常见的积分不只是这种情况，更多的是型如：，我们是否也可以借助复变的相关知识解决问题。例2.2计算积分解法1我们利用实函数的分部积分方法来解决问题。解法2令9此时我们得到此时我们可以知道我们对于运用分部积分，可以轻松的得到。是在极少

4、某种特殊情况下的看到的，我们经常看到的是形如（为任意阶常数），我们也可以应用构造函数的方法来解决此类问题，我们可以得出对于任意的形如，（为任意阶实函数），我们可以轻松利用复变函数知识得出。3利用复变函数求定积分我们通过学习复变函数和实函数，我们学习了定积分。那么复变函数中学习的一些知识是否可以被应用于计算一些特殊的实函数中，我们下面来谈论下。我们已知那么9是否在复函数也适用。下面我们看看一些特殊情况，我们取=时，我们可以看出-=-，然而，显然，在复函数情况下也能成立。下面我们来看下面例3.1我们知道=，取，使，考虑函数沿由，半圆弧及半圆弧的反向所组成的闭曲线C的积分。

5、根据柯西积分定理得，即（1）由引理1知由引理2知：在式（1）中令取得极限所以==4利用复变函数求实函数的n阶导数我们知道，在复变函数和实函数中都有泰勒展开式，导数等知识，那么我们常用的实函数的泰勒展开式等有没有什么关系，我们是否能够应用复函数的求导来求出实函数的导数。例4.1求函数的阶导数。解法1我们利用实函数的相关知识求出解9解法2设存在函数，令，我们已知可以很轻松地得到想求得结果。那么如果时，我们可以看出运用实函数所学习的知识解出这道问题过程十分复杂，并且出错。我们来看看在复函数的范围ia是否可以求出。设存在一个函数令我们对求阶导数，可以得到其中满足，所以仿上题，

6、同理当我们求（为任意次多项式）的阶导数时，我们也可以同构造复函数，然后对复函数求阶导数，此时95复函数在求不等式中的应用在复平面上，我们知道其上的亦遵守平面直角坐标系的一些规律，在实数范围内我们经常利用向量解决一些不等式，那么复函数德尔知识是否也能够应用在阶不等式上面。5.1我们已经知道例5.1求证不等式证令；;:5.2我们知道复数模有例5.2证明不等式证我们利用复函数知识来求这道题，设；;：；9此题得证例5.3设，，为非负实数，证明证设，，为非负实数因为==例5.3设为小于1的正数，证明证设，其中，则=通过上面的四部分的应用，我们可以通过复函数的知识让我们更加方便的

7、解决我们所求得实函数。参考文献[1]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社9[2][美]保罗J纳欣著朱惠霖译.虚数的故事[M].上海上海教育出版社[3]路线.复变函数与积分变换[M].北京科学出版社[4]杨谱.留数在几类特殊函数的定积分计算中的运用[J].中国高科技企业[5]孙清华，赵德修.新编复变函数题解[M].湖北武汉：华中科技大学出版社[6]四川大学数学系.高等数学（第4版）[M].北京：高等教育出版社[7]李昌兴，史克岗.复变函数[M].陕西西安：西安工业大学出版社[8]完巧玲.《利用复积分计算实积分》菏泽学院学报[J].第3