振动与波参考答案

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1、波动与光学第一章振动1.3已知一个谐振子的振动曲线如图1.3所示。（1）求和a，b，c，d，e各状态相应的相；（2）写出振动表达式；（3）画出相量图。图1.3习题1.3解用图解：（1）以表示振动曲线，则由各点的值可得：，；，；，；，；，（2）由时，，可知；再由>0，可知。又由，可得。由此可写出振动表达式为：（3）相量图如图1.4所示。图1.4习题1.3解用图1.7两个谐振子作同频率、同振幅的简谐振动。第一个振子的振动表达式为，当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。（1）求第二个振子的振动表达式和二者的相差；（2）若时，，并向负方向运动，画出二者的曲

2、线及相量图。解：（1）第一谐振子的相为时，第二谐振子的相为零，于是。因此，。第二谐振子的振动表达式为：（2）由时，且<0，可知。由此得，两谐振子的曲线和相量图如图1.5所示。图1.5习题1.7解用图(注：图1.5中的向量图为了为振动曲线比较旋转了90度。)1.9一弹簧振子，弹簧劲度系数为，当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，试回答：（1）振幅是多大？（2）位移是多大时，势能和动能相等？（3）位移是振幅的一半时，势能多大？解：（1）（2）时，（3）1.10将一劲度系数为的轻质弹簧上端固定悬挂起来，下端挂一质量为的小球，平衡时弹簧伸长为。试写出以此平衡位置为原点的小球的动力学方

3、程，从而证明小球将作简谐振动并求出妻振动周期。若它的振幅为，它的总能量是否还是。解：由平衡条件，可得。以平衡位置为原点，竖直向下为轴正向，列出小球的动力学方程为将代入，可得由此可知小球以所选原点为中心做简谐振动，其周期为，与水平弹簧振子周期相同。以所选原点作为弹性势能零点，则弹簧的弹性势能为小球的重力势能为弹簧振子的总能量为利用平衡条件，则有当时，。由此上式给出即具有和水平弹簧振子相同的能量形式。1.11有一轻弹簧，下面挂一质量为10的物体时，伸长量为。用此弹簧和一质量为的小球构成一弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开后，给予向上的初速度。试求振动的周期及振动表达式。解：由平衡条件可得

4、此弹簧振子的周期为以竖直向下为轴，并以平衡位置为原点，则，，由此可得由>0，<0，取。于是有1.12将劲度系数分别为和的两根轻弹簧串联在一起，竖直悬挂着，下面系一质量为的物体，作成一在竖直方向振动的弹簧振子，试求其振动周期。解：由于此串联组合弹簧的劲度系数为所以此竖挂弹簧振子的振动周期为1.33一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式为试写出合振动的表达式。解：合振动的表达式为(注：可以用向量图合成帮助理解。)1.35三个同方向、同频率的简谐振动为求：（1）合振动的角频率、振幅、初相及振动表达式；（2）合振动由初始位置运动到（为合振动振幅）所需最短时间。解：利用相量图进行合

5、成计算。（注：也可以直接将3个简谐振动表达式相加）图1.15习题1.35解用图（1）由图1.15可得合振动的（2）由图1.15可得矢量第一次转到使时，已转过的角度为，所需时间为1.36质量为的质点同时参与互相垂直的两个振动，其振动表达式分别为试写出质点运动的轨迹方程，画出图形，并指明是左旋还是右旋。解：。由垂直振动的合成轨迹标准方程将相关数值代入化简可得所求轨迹方程为由于>0，所以合运动是左旋的。轨迹图形如图1.16所示。图1.16习题1.36解用图2.2一简谐横波以0.8m/s的速度沿一长弦线传播。在x=0.1m处，弦线质点的位移随时间的变化关系为。试写出波函数。解：由x=0.1m

6、处质点的振动函数可得s-1任意x处的质元振动的相和x=0.1m处的相差为这样，波函数可以是这表示的是沿x轴正向传播的波。波函数也可以是这表示的是沿x轴负向传播的波。2.5一平面简谐波在t＝0时的波形曲线如图2.1所示。（1）已知u=0.08m/s，写出波函数；（2）画出t=T/8时的波形曲线。u图2.1解：（1）由图2.1可知，用余弦函数表示波函数，由图知，t=0,x=0时，y=0,因而。由此波函数可写为（2）t=T/8的波形曲线可以将原曲线沿x正向平移得到，如下图所示2.6已知波函数为。（1）写出t=4.2s时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通

7、过原点？（2）画出t=4.2s时的波形曲线。解：（1）t=4.2s时的波峰的位置由波函数中y=A决定，即要求将t=4.2s代入可得波峰的位置为x=n-8.4,n=0,±1,±2,…离原点最近要求为最小。据此，n应取8，而x＝-0.4m，此波峰通过原点的时刻应对应于n=8而x’＝0的时刻t’，即（2）法1：据波函数知：，所以m。按此值和波峰在-0.4m处即可画出波形曲线如下图。法2：t=4.2s代入波函数得：据此函数可以得到波形曲线。