一元函数的换元积分法

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1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号学士学位论文一元函数的换元积分法学生姓名：学号：专业：年级：完成日期：15学士学位论文BACHELOR’STHESIS中文摘要不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为复杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的

2、积分方法——换元积分法（通常称为换元法）。该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。关键词：一元函数；不定积分；换元法15学士学位论文BACHELOR’STHESIS目　录中文摘要0引言11.换元积分法11.1第一类换元积分法11．2第二类换元积分法31．3求三角函数的不定积分10总结12参考文献13致谢1415学士学位论文BACHELOR’STHESIS15学士学位论文BACHELOR’STHESIS引言换元积分法是把积分化为可以利用积分公式的一个重要方法。其形式有两种。第一类换元法和第二换元法。第一类换元法是由的原函数而获得的原函数主要采取的方法便是“凑”的方法。第二换

3、元法是已知有原函数而用来得到的原函数，它是第一换元法的可逆过程。1.换元积分法定义：我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其它形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。1.1第一类换元积分法定理1：（第一类换元积分法）若函数在可导，且，有，则函数存在原函数，即（1）证法只需证明证明：由复合函数的求导法则，有=。第一类换元积分法指出，求（1）式等号左端的不定积分，设则化为求不定积分，若存在原函数，则=15学士学位论文BACHELOR’STHESIS最后在将代入上式等号的左，右两端

4、，就得到所求的不定积分。由于，第一类换元积分法可表为=；第一类换元积分法的一般步骤：若某积分可化为的形式，且比较容易积分，那么可按下列方法和步骤来计算所给积分（1）凑微分：设法将积分变形为的形式，从而可得：==（2）作变量代换：作变量代换，则，从而将积分变为==并计算该积分；（3）将变量回代：根据所作代换，用替换积分结构中的，从而求得结构得原积分的结果。即：。注：显然第一步是第一类换元积分法的关键，第一类换元积分法叫做凑微分法。例1：求不定积分与解：用线性质可直接求得=若用求的方法来计算，显然是不可想象的为此，可用第一类换元法来计算：15学士学位论文BACHELOR’ST

5、HESIS；=若用计算的方法来计算应得；例2：求解：二次三项式在实数范围内无解，所以设有一对共轭复根，这时+其中对这一情形有=；1．2第二类换元积分法15学士学位论文BACHELOR’STHESIS定理2：（第二类换元积分法）若函数在可导，，且。函数在有定义，，有则函数在存在原函数，且。证明：已知有，则函数存在可导的反函数由复合函数和反函数的求导法则，有=。第二类换元积分法指出，求式等号左端的不定积分，设，则化为求不定积分。若存在原函数，则最后将代入上式等号右端，就得到所求的不定积分由于第二类换元积分法可表为；例3：求解：利用三角变换去根式：令则，；根据公式15学士学位论

6、文BACHELOR’STHESIS                ==为把回代成的函数，根据作一辅助直角三角形如图可知代入上式得例4：求分析：被和函数中有两个不同的根号，作变换时应考将两个极号同时去掉或变成其它可积出来的情形。解：令于是=从而有===15学士学位论文BACHELOR’STHESIS因为，所以故得+=解法2：先作恒等变形有===（1）令于是，，从而有=                                =15学士学位论文BACHELOR’STHESIS====（2）将（2）代入（1）得到例5：求，，解法1：令，，于是，。其中当时取正号，时取负号。

7、=。当，当，又因当时有15学士学位论文BACHELOR’STHESIS所以对所有均有例6：求解：由于15学士学位论文BACHELOR’STHESIS例7：试用多种方法求不定积分解法1：相继使用第一，第二换元积分法，得到（令）解法2：由于因此又可令由此解出，，并得到15学士学位论文BACHELOR’STHESIS；1．3求三角函数的不定积分常常有多种方法，其中有一种是万能的，尽管这种方法不是最简便的。设有有显然，上式等号右端的被积函数是有理函数，因此三角函数存在被等函数的原函数。焕元。称为关于的万能换元。例8：求解：设有，15学