2014江门中职数学期中模考试题及答案：解答题05

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1、江门中职数学期中模考试题及答案：填空题解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△中，内角A，B，C所对的分别是，，。已知，,．（I）求sinC和b的值；（II）求的值．18.（本小题满分12分）如图5，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD＝2，BD＝，PD⊥底面ABCD.（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P—BC—D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供

2、帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：您是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）通过计算说明，你能否有99℅5的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：K2=20.（本小题满分12分）已知椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），它的一个顶点为M(0，1)，离心率e＝.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝3.求证：直线AB过定点，并

3、求该定点.21.（本小题满分12分）已知a∈R，函数f(x)＝＋lnx－1，g(x)＝(lnx－1)ex＋x（其中e≈2.718）.（Ⅰ）求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值；（Ⅱ）是否存在实数x0∈(0，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.22.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数的值．解答题：本大题共6个小题，共70分.17.（本小题满分12分）解：(I)在三角形ABC中，由，可得5又由及，,可

4、得.由余弦定理，得，又因为，故解得，所以，.(Ⅱ)由，，可得，所以，18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为CD2＝BC2＋BD2，所以BC⊥BD.又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.又因为PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD.而BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD.（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD.所以∠PBD即为二面角P—BC—D的平面角，即∠PBD＝.而BD＝，所以PD＝1.分别以DA，DB，DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0

5、，0，1)，所以AP＝(－1，0，1)，BC＝(－1，0，0)，BP＝(0，－，1).设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则即可解得n＝(0，1，)，所以AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ＝＝＝.19.（本小题满分12分）解：(Ⅰ5)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为％.(Ⅱ)，由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，得解得∴椭圆方程为＋y2＝1

6、.（Ⅱ）显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋t，代入椭圆方程，得(3k2＋1)x2＋6ktx＋3(t2－1)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝，由k1＋k2＝3，得＋＝3，①又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，②由①，②得2k＋(t－1)·＝3，化简，得t＝.则直线AB的方程为y＝kx＋＝k(x＋)－1，∴直线AB过定点(－，－1).21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵f(x)＝＋lnx－1，x∈(0，e]，∴f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝a.

7、①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值.②若0＜a＜e，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减；当x∈(a，e]时，f′(x)＞0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值lna.③若a≥e，则f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上的无最小值；当0＜a＜e时，函数f(x)5在区间(0

8、，e]上的最小值为lna；当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为.（Ⅱ）∵g(x)＝(lnx－1)ex＋x，x∈(0，e]，∴g′(x)＝(lnx－1)′ex＋(lnx－1)(ex)′＋1＝＋(lnx－1)ex＋1＝(＋lnx－1)ex＋1.由（Ⅰ）可知，当a＝1时，f(x)＝＋lnx－1.此时f(x)在区间(0，e]上的最小值为ln1＝0，即