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《函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、函数与方程【考纲说明】1、了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。2、能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。（2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点（3）变号零点与不变号零点①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。②若函数在零点左右两侧的
2、函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。（2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法①代数法：函数的零点的根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（3）零点个数确定有2个零点有两个不等实根；有1个零点有两个相等实根；无零点无实根；对于
3、二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定.3、二分法（1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤:①确定区间,验证,给定精确度;②求区间的中点;③计算;(ⅰ)若,则就是函数的零点;(ⅱ)若,则令(此时零点);(ⅲ)若,则令(此时零点);④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步.【经典例题】【例1】（2012天津）函数在区间内的零点个数是
4、（）A、0 B、1 C、2 D、3【答案】B【解析】解法1：因为，，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1.解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.【例2】（2010天津）函数 f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )A、(－2，－1) B、(－1,0)C、(0,1)D、(1,2)【答案】B【解析】∵f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－<0，f(0)＝20＋0＝1>0，∴f(－1)f(0)<0.∴ f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)．【例3】（2
5、009山东）若函数(且)有两个零点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】函数=(且)有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.【例4】（2012辽宁）设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=
6、xcos
7、，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为（）A、5B、6C、7D、8【答案】B【解析】因为当时，f(x)=x3.所以当时，，，当
8、时，；当时，，注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数，且f(0)=g(0)，f(1)=g(1)，，作出函数f(x)、g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，故选B【例5】（2012湖北）函数在区间[0,4]上的零点个数为（）A、4B、5C、6D、7【答案】C【解析】：f(x)=0，则x=0或cosx2=0，x2=kπ+,k∈Z，又x∈[0,4]，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解．选C．【例6】（2011陕西）函数在内（）A、没有零点B、有且仅有一个零点C
9、、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点【答案】B【解析】解法一：数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；解法二：在上，，，所以；在，，所以函数是增函数，又因为，，所以在上有且只有一个零点．【例7】（2011天津）对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A、(－∞，－2]∪B、(－∞，－2]∪C、∪D、∪【答案】B【解
10、析】f(x)＝＝则f的图象如图∵y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，∴y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点，由图象知c≤－2，或－1
