微积分 朱来义 第二版答案chapter -b 习题

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1、B组1.求下列级数的和：(1);(2)。解:(1),令则因此，从而即(2)因此，2.已知级数，，证明级数也收敛,并给出级数的和。解:3.若数列{an}满足证明：(1)级数发散;(2)级数收敛，且和为解:(1)显然因此级数发散;(2)从而4.已知正项级数收敛，证明级数也收敛。证明:设则由于数列{S2n}是有上界的单调数列，即S2n

2、级数发散，则级数发散。6.设证明:如果级数收敛，则级数收敛。证明:由于因此又因为级数收敛，从而收敛，从而级数收敛。利用可知级数收敛。8.已知级数在x>0时发散,在x=0时收敛，试确定a的取值范围.解:由级数在x=0时收敛，即级数收敛，因此必有a<0,令y=x-a,则，且收敛半径R=1,从而收敛区间为（a-1,a+1）再由级数在x>0时发散可知,a+1=0,即a=-1.9.已知级数收敛，证明级数绝对收敛。证明:　，又因为级数，收敛，从而级数绝对收敛。10.讨论下列级数的敛散性：(1)(2);(3)(4)解：(1)设则　　当q>1/2时，

3、级数收敛;当q£1/2时，级数发散。(2)，，则当p>1/2时，级数收敛;当p£1/2时，级数发散。(3)因此,①当

4、a

5、<1时级数绝对收敛;②当

6、a

7、＞1时级数发散;③当a＝1时级数变化为，设则，当p>2时，级数收敛;当p£2时，级数发散。④当a＝－1时级数变化为，设则，当p>2时，级数绝对收敛;当1

8、时，r=1/2<1,级数绝对收敛;综上所述,当时，级数绝对收敛。12.求下列级数的收敛域：(1)(2)(3)(4)解:(1)令则当y=1,级数条件收敛,当y=-1,级数发散。因此，幂级数的收敛域为从而即因此级数的收敛域为(2).令则由于幂级数的收敛域为(-1,1)，从而即因此级数的收敛域为(3)由于，因此，幂级数的收敛域为(4)令则由于因此幂级数的收敛域为[-1,1]。从而即因此级数的收敛域为[-1,0].13.求的收敛域，并求出级数的和。解:由于因此，从而有14.设，(1)将f(x)展开成x的幂级数，给出收敛域;(2)求f(45)(

9、0);(3)利用f(x)的展开式计算的和。解:(1)当-1