北交大版微积分第二章习题2.2答案

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1、2.2函数的极限习题2.21.根据函数极限的定义证明：（1）证明：，要使，只需，所以取，则时，恒有，所以。（2）证明：，要使时，，只需取，则时，恒有，所以。（3）证明：，不妨设，要使，只需，即，所以取，则时，恒有，所以。（4）证明：，不妨设，要使，只需，即，所以取，则时，恒有，所以。（5）证明：情形1：设，即问题为。，要使，只需，所以取，则时，恒有，所以。情形2：设，当时，，此时要使，只需。所以取，则时，恒有，所以。（6）证明：当时，。，要使时，，只需。取，则时，恒有，所以。1.求当时的左、右极

2、限，并说明它们在时的极限是否存在。解：所以时存在极限。所以时不存在极限。2.根据函数极限的定义证明：（1）证明：，要使，只需，所以取，则当时，恒有，所以。（2）证明：，要使，只需，所以取，则当时，恒有，所以。1.用单侧极限定义证明下列各式：（1）证明：当时，。所以，取，则时，恒有，所以。（2）证明：当时，，要使，只需，取，则时，恒有，所以。2.设问在与两点的极限是否存在？为什么？答：因为,所以在处极限不存在。因为，所以在处极限存在。6．证明：极限不存在。证明：令，则；令，则。所以不存在。7.证明

3、证明：，所以时，，。取，当时，就有，所以8.证明：函数当时的极限为零。证明：要使，只需取，则当时，就有，所以函数当时的极限为零。9.证明：若及时，函数的极限都存在且都等于，则证明：由知，存在，使得当时，；由知，存在，使得当时，。取，则时，恒有，所以10．根据函数极限的定义证明：函数当时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。证明：必要性：由知，，当时，有，所以当和时，都有。所以充分性：若则，当时，有；，当时，有。取，则当时，恒有，所以。11.试给出时函数极限的局部有界性定理，并加

4、以证明。定理：若时函数存在极限，则存在，使得函数在范围内是有界的。证明：设，则对于来说，存在当时，，此时，，所以函数在范围内是有界的。12.已知且，证明证明：，由知存在当时，。对此由知存在正整数，当时，，所以此时，故