高中数学方法讲解之反证法

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1、反证法从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思

2、维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”第10页共10页。应用反证法证明的主要

3、三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来

4、讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。例1.[05.北京]设是定义在上的函数，若存在使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。对任意的上单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。求证：对任意的若，则第10页共10页为含峰区间；若则为含峰区间；【巧证】：设为的峰点，则由单峰函数定义可知在上单调递增，在上单调递减。当时，假设，则从而

5、这与矛盾，所以，即是含峰区间。当时，假设，则，从而这与矛盾，所以，即是含峰区间。例2.求证：函数f(x)=sinx的最小正周期是2π．【巧证】：由诱导公式知，对任意x∈R，有sin(x＋2π)=sinx，即2π是函数sinx的一个周期．下面再用反证法证明2π是sinx的最小正周期，假设还有一个正数T也是sinx的周期，且0＜T＜2π，则对任意x∈R都有sin(x＋T)=sinx．特别地，对x=0，有sinT=sin0=0，而在(0，2π)中，只有T=π才使sinT=0，但π不是sinx的周期，故sinx的最小正周期是2π．注：若直接证明比较困难，因适合0＜T＜2π第10页

6、共10页的正数有无穷多个，我们无法直接验证．当“反设”中断言某些性质对于变量的一切值都成立时，显然对变量的一些特殊值也成立，故常赋予特殊值，便可得到一些等式或不等式，从而推得矛盾，反证原命题．1＋x≥2y，且1＋y≥2x．两式相加，得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，即2≥x＋y，这与已知矛盾，故注：“集合M中至少有一个元素m不具有性质a”的否定是“集合M中所有元素都具有性质a”．反之亦对．因为“集合M中至少有一个元素不具有性质a”，它包含了“M中有一个元素不具有性质a、两个元素不具有性质a……所有元素都不具有性质a”等各种情形．因此它的否定是“M中所有元素都具有性质a”．如

7、“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”的否定是“三角形中所有内角都小于60°”．注意“都不是”的否定不是“都是”，而是“不都是”，也即“至少有一个是”．如“a、b都不是零”的否定是“a，b中至少有一个是零”．第10页共10页∴C＜B＜A≤60°．∴A＋B＋C＜180°，这不可能．例5.[88.全国理]给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝(其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。。【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛