专题五 解析几何 第一讲 直线与圆

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1、专题五解析几何第1讲　直线与圆自主学习导引真题感悟1．(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A．充分不必要条件　B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析　先求出两条直线平行的充要条件，再判断．若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，即a＝－2或a＝1，所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．答案　A2．(2012·福建)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB

2、的长度等于A．2B．2C.D．1解析　利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝1，半径r＝2，∴弦长

3、AB

4、＝2＝2＝2.答案　B考题分析圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系为主，考查直线与圆位置关系的判定、弦长的求法等，题目多以小题为主，难度中等，掌握解此类题目的通性通法是重点．网络构建高频考点突破考点一：直线方程及位置关系问题【例1】(2012·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0

5、平行”的A．充分不必要条件　B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[审题导引]　求出l1∥l2的充要条件，利用定义判定．[规范解答]　当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0.所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的充要条件．[答案]　C【规律总

6、结】直线与直线位置关系的判断方法(1)平行：当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1∥l2⇔k1＝k2；如果直线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1∥l2.(2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；若两条直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直．(3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得．[易错提示]　判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合

7、的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误．【变式训练】1．(2012·泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为A．x－2y＋4＝0　　　　　B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0D．x－2y＋5＝0解析　由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.答案　A2．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(

8、－3，－4)两点，若点C在∠AOB的平分线上，且

9、

10、＝，则点C的坐标是________．解析　设C(a，b)(a＜0，b＜0)．OB所在直线方程为4x－3y＝0，则解得∴C(－1，－3)．答案　(－1，－3)考点二：圆的方程【例2】(2012·镇江模拟)以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．[审题导引]　求出双曲线的右焦点与渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于半径求得半径，可得方程．[规范解答]　双曲线的右焦点为(5,0)，即为圆心，双曲线的渐近线方程为y＝±x

11、，即4x±3y＝0，∴r＝＝4，∴所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝16.[答案]　(x－5)2＋y2＝16【规律总结】圆的方程的求法(1)几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直；设圆的半径为r，弦长为

12、AB

13、，弦心距为d，则r2＝d2＋2等．(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算简捷．【变式训练】3．(2012·徐州模拟)若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧

14、，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．解析　设圆心为(a,0)(a＜0)，则r＝＝，解得a＝－2，即(x＋2)2＋y2＝2.答案　(x＋2)2＋y2＝2考点三：直线与圆的位置关系【例3】(2012·临沂一模)直线l过点(4,0)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝25交于A、B两点，如果

15、AB

16、＝8，那么直线l的方程为________．[审题导引]　讨论直线的斜率是否存在，利用弦长为8求出斜率，可得所求直线的方程．[规范解答]　圆心坐标