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1、●A基础理论○B应用研究○C调查报告○D其他本科生毕业论文（设计）数列极限的几种求法二级学院：数学与计算科学学院专业：数学与应用数学年级：学号：作者姓名：指导教师：完成日期：2013年5月5日数列极限的几种求法专业名称：数学与应用数学作者姓名：指导教师：论文答辩小组组长：成员：论文成绩：目录1引言12关于数列极限两种最常见的求法12.1定义法12.2两边夹原则33几种判别数列极限存在的方法43.1单调有界定理43.2柯西收敛准则64利用函数性质求极限104.1海涅定理104.2重要极限的应用125其它方法145.1施笃兹定理法145.2级数性质法175.3定积分定义法175.4错位法与拆分法1
2、9数列极限的几种求法摘要：主要介绍了极限的几种求法,并以几个实例来加以说明.关键词：数列;极限;求法SeveralMethodsofFindingtheSequencelimitAbstract:SeveralmethodsofFindingthesequencelimitareintroducedandsomeexamplesareusedtoexplaitthem.Keyword：sequence;limit;solution1引言数列极限是极限论的重要组成部分，而极限论是数学分析学的基础.同时极限论不仅在复变函数、实变函数、常微分方程、泛函分析等数学领域里应用广泛，而且在计算机技术、科学
3、研究、工程技术等方面应用也日益广泛.虽然国内外学者对数列极限的性质、存在的判别、求法解法的研究已经相当系统、成熟，然而对于初学者而言，这部分知识他们并不容易接受，尤其是对数列极限的定义、数列极限存在判别方法的使用、数列极限的不同求法对不同题型的应用等.因此通过比较研究，实例对比总结结论以获得对知识更深的理解就显得极其重要.2关于数列极限两种最常见的求法2.1定义法定义2.1.1[4]设为数列,为实数,若对任给的正数总存在正整数使得当时有则称数列收敛于实数称为数列的极限,并记作或.例2.1.2[1]设证明证明因为故(取),,有26于是由的任意性知例2.1.3[6]用语言证明证明设由于所以由二项式
4、定理得因此解此不等式得应取用语言表述即为:即当时，有这就说明了小结设通过以上例子总结出运用论证法的大致步骤:任意给定令推出取再用语言顺述并得出结论.以上是对已知数列极限存在的情况下求数列极限,那么对于一个给定的数列,当它满足什么条件时才能保证这个数列的极限存在呢?下面给出的迫敛性法则有助于我们找到结论.2.2两边夹原则定理2.2.1[2]设收敛数列,都以为极限,数列满足存在正整数当时有，则数列收敛，且26例2.2.2[5]求极限解利用得从而又由于所以有故例2.2.3[4]求极限（北京大学1999年）解由题意立即可得又有 26同理可得因此 小结:运用两边夹原则的关键在于将数列进行适当地放大与缩
5、小,一般是从数列本身结构出发,将其通项放大后得数列,缩小后得数列并使与的极限都存在且相等,放缩的技巧基本上类似应用定义法证数列极限时的常用方法,关键在于掌握不等式放缩的各种方法.但事实上很多数列不一定就有一定规律的或者很容易使用两边夹原则就可以求之的,而且有的数列是有极限还得进行判断,这时就得引入判别数列极限存在的定理.我们已经知道,收敛数列必定有界,但有界数列却不一定收敛,那么对于有界数列,我们应该附加什么条件,才能保证它收敛呢?3几种判别数列极限存在的方法3.1单调有界定理定理3.1.1[1]在实数系中,有界的单调数列必有极限.注:定理中的两个条件（单调和有界）缺一不可,如数列是有界的,但
6、它不满足单调性,由以前学习所知,它的极限并不存在,又如数列显然是单调的,但它无界,显然它的极限不存在.此定理中“单调有界”的条件是充分的,然而并非必要.例如的极限存在,但它不具备有单调性.26例3.1.2[2]设求（华南理工大学1998年）解由题意可得,且又所以数列单调减少有下界，从而收敛.不妨设对两端取极限可得解得(舍去)因此例3.1.3[9]证明证明令则显然是严格单调递增的，又因为故有上界.因此收敛，另一方面，任意设定当时，26由此式两端令得另外，又可看出故由两边夹法则可知到目前为止,我们讨论一个数列是否收敛时,总是和一个特定的数列紧密联系在一起的,我们的任务只是验证数列是否以为极限,但事
7、实上如果预先不告诉我们那个,如何从数列本身的特性来判断它是否收敛?另一方面,单调有界原理只是数列收敛的充分条件,它只适合于一类特殊的数列--单调有界数列，因而它对求数列极限有很大的局限性.所以单调有界原理并不是收敛的特征性质，这也就要求我们必须寻找一个能够刻画数列收敛的特征,即从数列本身的结构出发，来研究收敛的充要条件.3.2柯西收敛准则定理3.2.1[4]数列收敛的充分必要条件是任给存在使得当时
