线性代数第一章教案

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1、线性代数教案第一章行列式行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1)行列式的定义；(2)行列式的基本性质及计算方法；(3)利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而

2、简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．重点：行列式性质；行列式的计算。难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。§1.1二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组(1)用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22–a12a21≠0时，有(2)这就是

3、一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．根据定义，容易得知(2)中的两个分子可分别写成，，如果记，，则当D≠0时，方程组(1)的解(2)可以表示成，，(

4、3)象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先(3)中分母的行列式是从(1)式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1用二阶行列式解线性方程组解：这时，，，因此，方程组的解是，，对于三元一次线性方程组(4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号(5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三

5、个元素的乘积取负号．例2令，，．当D≠0时，(4)的解可简单地表示成，，(6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3解线性方程组解：，，，．所以，，，．例4已知，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)．解：，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．§1.2排列在n阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识．定义1由数码1，2，…，n组成一个有序数组称为一个

6、n级排列．例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．数字由小到大的n级排列1234…n称为自然序排列．定义2在一个n级排列i1i2…in中，如果有较大的数it排在较小的数is的前面(is

7、N(3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N(52341)=7．容易看出，自然序排列的逆序数为0．定义3如果排列i1i2…in的逆序数N(i1i2…in)是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列．例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列．自然排列123…n是偶排列．定义4在一个n级排列i1…is…it…in中，如果其中某两个数is与it对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列i1…it…is…in，这样的变换称为一个对换，记作(is，it)．如在排列3412中，将4与2对换，得到新

8、的排列3214．并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214．反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412．一般地，有以下定理：定理1任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变．证明：首先讨论