线性代数教案 -

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1、第二章矩阵§2.1矩阵及其运算教学目的：使学生学习矩阵相关的概念及运算教学重点：矩阵的概念及运算，几种特殊的矩阵教学难点：矩阵的的乘法运算，一、导入矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，是数学研究中常用的工具，它不仅在数学中的地位十分重要，而且在工程技术各领域中也有着广泛的应用。矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。二、新授1．定义1：由个数排成的行列的表称为行列矩阵（matrix）,简称矩阵。一般用大写黑体字母表示：记为A、B、C。为了表

2、示行和列，也可简记为或矩阵中数称为矩阵的第行第列元素。注意：m=n时是方阵，此时矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵。n=1称为列矩阵或列向量。m=1称为行矩阵或行向量。定义2：如果两个矩阵有相同的行数，相同的列数，并且对应位置上的元素均相等。则称两个矩阵相等。记为A=B。把有相同行数，相同列数的两个矩阵称为同型矩阵。例1某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵其中为工厂向第店发送第种产品的数量。这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵39其中为第中产品的单价，为第种产品单价重量。2．特殊形式矩阵：（1）n阶方阵：在矩阵

3、中，当时，称为阶方阵（2）行矩阵：只有一行的矩阵叫做行矩阵列矩阵：只有一列的矩阵叫做列矩阵（3）零矩阵：元素都是零的矩阵称作零矩阵3．相等矩阵：对应位置上的元素相等的矩阵称作零矩阵4．常用特殊矩阵：（1）对角矩阵：（2）数量矩阵：（3）单位矩阵：（4）三角矩阵：称作上三角矩阵，称作下三角矩阵。5.矩阵的运算一、矩阵的加法：定义3：A+B=（）+（）=（+）39=两个同型（m行）、同列（n列）的矩阵相加等于对应位置上的元素相加（行与列不变）由于矩阵加法归结为对应位置元素相加，故矩阵加法满足如下运算律1、交换律A+

4、B=B+A2、结合律（A+B）+C=A+(B+C)3、有零元A+0=A4、有负元A+(-A)=0一、数与矩阵的乘法定义4、给定矩阵A=（）及数k,则称（k）为数k与矩阵A的乘积。即kA=k=由定义可知–A=(-1)AA–B=A+(-B)数与矩阵的乘法满足下列运算律（设，，为矩阵，，为数）：（a）（b）（c）例1设，求。解：三、矩阵的乘法(1)定义5：设两个矩阵，，则矩阵与矩阵的乘积记为，规定，其中39(2)矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：(a)结合律：；（b）分配律：；（c）设是数，。例2设，，

5、求，与。解：;从例题中我们可以得出下面的结论：（i）矩阵的乘法不满足交换律。即一般地说，。（ii）两个非零矩阵的乘积可能等于零。一般说来，不能推出或。（iii）矩阵乘法中消去律不成立。即，且，不能推出(3)设是一个阶方阵，定义：（是正整数）称为的次方幂。由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：；，其中，为正整数。又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个阶方阵与，一般说来，。设是的一个多项式，为任意方阵，则称为矩阵的多项式四、矩阵的转置1．定义：设则矩阵称为的转置矩阵2．矩阵的转置是一种运算，它满

6、足下列运算律（假设运算都是可行的）：（1）（2）（3）（是数）（4）39例3设BT=B,证明(ABAT)T=ABAT证明：因为BT=B，所以(ABAT)T=[（AB）AT]T=(AT)T(AB)T=ABTAT=ABAT3．定义：设为阶方阵，如果，即有则称为对称矩阵。如果，即有，，则说为反对称矩阵。五、方阵的行列式1．定义6：由阶方阵所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为阶方阵的行列式(determinantofamatrixA)，记作

7、

8、或。2．阶行列式的运算满足下列运算律（设，为阶方阵，为数）：（1）

9、；（2）；（3）。3.小结：本节介绍了矩阵的概念和矩阵的特殊形式和特殊矩阵以及矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算在矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。§2.2逆矩阵教学目的：会判断矩阵的可逆性，矩阵可逆的条件教学重点：1．可逆性判定；2.矩阵可逆的条件教学难点：求逆矩阵一、导入求逆矩阵是矩阵的一种重要运算，它在矩阵的应用中起到重要的作用。二、新授逆矩阵的概念1．定义：设为阶方阵，若存在阶方阵，使则称是可逆矩阵。并称为的逆矩阵，记为，即。如果矩阵是可逆的，则的逆矩阵

10、是唯一的。事实上，设，都是的可逆矩阵，则有，于是。2．定义：设为阶方阵，若，则称是非奇异的（或非退化）的，否则称是奇异的（或退化的）。3．定义：设，令为中元素的代数余子式，则称方阵39为的伴随矩阵，或记为。矩阵可逆的充要条件定理：方阵可逆的充分必要条件是为非奇异矩阵，即，并且证明：充分性：设，由第一章中定理1.4及推论可知又知，所以有故可逆，且。证毕。推论1：若是可逆矩阵，则经过若干次