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1、浅议新教材中的类比思想高中数学教与学2009年.解题思路与方法.浅议新教材中的类比思想霍福策(江苏省丰县中学,221700)江苏省考试说明要求,数学命题要突出数学基础知识,基本能力,基本思想方法的考查,其中,推理沦证能力的号查要能够根据L三知的事实和已经获得的Il确的数学命题,运用归纳,类比和演绎进行推理,沦证某一一数学命题的真假性.冈此,在高中数学的教学过程中要加强对推理能力的培养.推理有演绎推理和合情推理,其中合情推理分为归纳推理和类比推理.本文仅埘高中数学中的类比推理作浅要论述.一,类比推理的含义所谓类比推理,是指通过两个(或两类)对象韵一些相同(或相似)属性的比
2、较,从而推出它们的其它某些属性也相同(或相似)的一种逻辑方法,其推理形式为:类比对象类比属性甲ABCDZABC所以.乙对象可能具有属性D.这是从特殊到特殊的一种推理形式,所推出的结论未必可靠,仅是一种"似真"的结果,带有猜测的性质.管发现的结果不一定真实,但它毕竟是一种探索方法,因为类比联想可以发现新的数学知识,可以寻到解决问题的方法和途径,可以培养学生的发散思维,创造思维及合情推理能力.拉普拉斯曾说过:"即使在数学里,发现真理的主要工具也是归纳与类比"所以,类比推理在数学中虽然不是证明方法,但却是一种重要的数学发现法,是提出假设进行猜想的基础,是各种创造思维形式的基本
3、要素.?18?二,类比推理的应用1.平面几何与立体几何类比这种类比,也称降维类比,通常是指将三维窄问(立体几何问题)类比到二维空间(平丽几何问题).它们之问的元素可按下列对应方法构成类比对象直线一一平面角一一二面角j角形一一四面体平行四边形一一平行六面体矩形一+长方体圆一一球如果把直角坐标平面简记为,直角坐标空间简记为,则有下列结论:(1)点的坐标尸(X,Y)一P(,Y,z)(2)两点间的距离:_两点P(,,Y),P(2,Y2),PlP2=~/(2一1)+(Y2一Y1).:两点Pl(Xl,Yl,I),尸2(X2,Y2,z2),P.P2=J(X2一.9171)+(Yz—Y
4、1)+(z2一)(3)线段中点坐标(中点也即线段P,PIoN两个端点的距离平方和最小的点):两点P,(.,Y)与P:(,Y2)的中点(,).V3:两点Pl(l,YI,z1)与P2(2,Y2,2)的中点(2,2,2).''/(4)v2:Ax++C=0(A,B不全为0)表第2期示平面直线方程的一般式.:A+++D:0(A,B,C不全为0)表示空间平面的一般式.(5):+),:1表示单位圆,即平面中到原点的距离等于1的所有点的集合.:++.=1表示单位球面,即空间中到原点的距离等于1的所有点的集合.例1已知棱长为1的正四面体—BCD,试求到四个顶点的距离和最小的点及最小值.
5、分析类比到平面,边长为1的正三角形中到三个顶点的距离和为最小的点是该三角形的中心,其最小值为(先在三角形内取点P,将点P投影到三角形ABC的一条中线上得Pl,先证明PlA+PIB+PlC≤PA+P+PC,再证若使P,A+PB+P,C取最小值则P必为ZXABC的重心).推广到空间,对正四面体ABCD,设E,F分别是A,cD的中点,容易求得EF=,设P在面ECD的投影为P.,则PlC≤PC,PlD≤PD...'PPJ_面ECD,AB上面ECD,:.PPfAB.又面ECD垂直平分AB,P.A=P.B,类比平面情形,有P1A+PlB≤PA+P日,于是,PIA+PIB+PlC+P
6、lD≤PA+P+PC+PD.再设P.在面ABF的投影为P,同理,得P2+P2B+P2C+P2D≤PlA+Pl+PlC+PlD.但面ECD上面ABF,故P在其交线EF上,设PF=,则P:E=半一,由均值不等式口.+b+c+d≥(0+c)+(b+d),得P2A+P2B+P2C+P2D=2(P2A+P2D)=2【√({)+(譬一)+√(吉)+]高中数学教与学≥√6.当且仅当=等时上式等号成立?这时P为EF的中点,即点P:为四面体的重心G时,它到各顶点的距离最小,其最小值为.2.等差数列与等比数列类比等差数列与等比数列是高中数学中的重要内容,它们的定义与性质有许多相似之处,因此
7、,在研究二者的问题时,可以用类比的方法研究它们的相关问题.它们之间的元素可按下列对应方法构成类比对象:定义:o一o一=d(常数),:q(常数);0,『-I差一+商性质:若m+n=P+q,贝0Ⅱm+口n=Ⅱp+0g,若m+n=P+q,贝Ⅱ口爪.0n=口P'r上口;和一一积通项公式:0=口.+(n一1)d,n—lnn0Iq,倍数n一1一一幂指数n一1.在学习这部分知识时要充分认识到数学中的类比思想,必要时可进行类比.(1)在等差数列{n}中,若...=0,则有等式r上l+口2+Ⅱ3+…+Cl,I9=0成立;在等比数列{6}中,若b..=1,则
