北京市东城区2013-2014学年第二学期综合练习(二)高三数学(理科)(带答案)

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1、北京市东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学（理科）本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合，集合，则=（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限开始输入是否输入结束（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的值为（A）或（

2、B）或（C）或（D）或(4)如果实数，满足条件则的最大值为（A）（B）（C）（D）（5）设为等差数列的前项和，若，公差，，则（A）（B）（C）（D）（6）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为（A）（B）（C）（D）（7）若直线（为参数）被圆（为参数）所截的弦长为，则的值为（A）或（B）或（C）或（D）或（8）对任意实数，定义运算“⊙”：设，若函数10的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知，那么．（10）已知平面

3、向量，，若，，，则；向量，夹角的大小为．ABCPDO·（11）在区间上随机取两个实数，,则事件“”的概率为_________．（12）如图所示，与圆相切于，直线交圆于，两点，，垂足为，且是的中点，若，则．（13）若直线与抛物线相交于，两点，且，两点在抛物线的准线上的射影分别是，，若，则的值是．（14）在棱长为的正方体中，点是正方体棱上一点（不包括棱的端点），，①若，则满足条件的点的个数为________；②若满足的点的个数为，则的取值范围是________．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分

4、）已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值．100.0200.0251020304050600.0150.005频率组距（16）（本小题共13分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了名年龄段在，，，的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在的人数；（Ⅱ）从不小于岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取人，求年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记为年龄在年龄段

5、的人数，求的分布列及数学期望．DCBEA（17）（本小题共14分）如图，四棱锥中，平面平面,//,,,且，.（I）求证：平面；（II）求和平面所成角的正弦值；（III）在线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由.（18）（本小题共13分）已知，函数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：对于任意的，都有.10（19）（本小题共13分）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为直线上的一点，若△为等边三角形，求直线的方程.（20）（本小题共14分）设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是

6、自然数，（，）．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若，求证：；（Ⅲ）当时，求证：存在，使得．东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B（2）A（3）C（4）D（5）D（6）C（7）C（8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）（11）（12）（13）（14）注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．10三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．所以．………

7、…………7分（Ⅱ）当时，．所以，当时，即时，函数取得最小值；当时，即时，函数取得最大值．…………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ），　　，　　即随机抽取的市民中年龄段在的人数为．………………………4分（Ⅱ），，所以，即抽取的人中年龄段抽取的人数为．……………………7分（Ⅲ）的所有可能取值为，，．；；10．所以的分布列为的数学期望为．………………………13分（17）（共14分）DBACEzxy解：（I）由，.,可得．由，且，可得．又．所以．又平面平面，平面平面，平面，所以平面．　　　　　　　　　……………５分（II）如图建立空间直角坐标系，则，

8、，，，，，．设是平面的一个法向量，则，，即令，则．设直线与平面所成的角为，则．所以和平面所成的角的正弦值．