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1、2005年全国高中联赛加试第二题别解2006年第1期中学数学研究所以Y=f[g(z)]是减函数.②当"≤2时,^()是减函数,这时Y=f[g()]与=z具有相反的增减性.由≤2,即z≤2,得一≤z≤√2.当z∈[0,]时,=z是增函数,所以Y=fig(z)]是减函数;当z∈[一√2,0]时,=z是减函数,所以Yf[g(z)]是增函数.综上所述,函数Y=f[g(z)]的单调增区间是[一,0]和[,+.o),单调减区问是[0,2]和(～..,一√2].正解3Y:f[g(z)]=(z一2).+2=z一4z+6,求导,得Y
2、=4z.一8x=4z(z一)(z+),令Y=0,得z=0或z=一或z=.列出下表:(一o..一)一(一√2.o)0(o.)(,+..:O十0O+减函数增函数减函数增函数所以,函数Y=f[g(z)]的单调增区间是[一J2,0]和[,+o.),单调减区间是[0,]和(一.o,一].2005年全国高中联赛加试第二题别解南昌大学附属中学(330047)宋庆2005年全国高中数学联赛加试第二题:设正数b,C,z,Y,2满足+bz=口,口2+=b,bx+ay=C.求函数f(z,Y,2)=++Z2的最小值.下面给出与标准答案不同
3、的另外四种解法.解法1:由条件可得z=,故z一(b+c一a2)1+z2bc(2bc+b+C一口)≥(b.+C一口)4b.C.+(b+C)(b+C一口)(b+c2一口)b+c+6b2c2一~2a2一口b2'令∑表示循环和,由上式及柯西不等式得2(∑口).f(z,Y,z)≥2(∑?∑丢铬圭瓮=∑(b+C4+6bc一~2a2口2b2)?(b+c一口0)0.6+c+6b2c一c口2一口2b2≥[∑(b+f一a)]=(∑口),?46?故f(z,Y,)≥÷(当且仅当z=Y=2=时取等号),所以,f(z,Y,2)mi=寺.解法2
4、:同解法一,由条件可得z0(b+c一口)1+z一2∑口?bc(b+c一口)'.'.∑bc(b+C一口)?f(z,Y,2)=?∑6c(b+c-a).∑≥芝∑(62+c~-a2)]=,x,y,z)≥蕊一舞.下证(∑a2)≥∑口∑bc(b+C一口).不妨设口≥b≥c>0,则上武等价于∑口+abc∑口一∑口(b+C)≥0e∑口(口一b)(口一c)>io错(口一b)[口(口一c)一b(b—c)]十c(口一C)(b—c)≥O甘(a—b)[口(口一C)+b(b—C)+ab]+中学数学研究2006年第1期c(a—c)(
5、b—C)≥0,最后这一不等式成立,故f(X,Y,z)≥寺(当且仅当z=Y=z=1一时取等号),所以,f(X,Y,z)=寺.解法3:从条件式中消去口,b,c可得z2+Y2+2+2xyz=1.下证f(X,Y,z)≥寺.不妨设1>z≥Y≥z>0(因X<+Y+z.+2xyz=1),则1+—z—z>0,(z—z)≥(z—).于是f(x,Y,z)≥吉等价于2∑(1+Y)(1+z)≥(1+x)(1+y)(1+)∞2∑z+2∑X(y+)+2xyz∑≥1+∑X+∑yz+xyz∞2∑X+2∑z(Y+z)+2xy
6、z∑≥∑X2+2xyz+∑z(∑z+2xyz)+∑+xyz僧∑X一∑yz+∑X(Y+z)一6xyz一(∑z.一3xyz)≥0∞丢∑(—)+∑z(—z)一虿1∑z'E(y—z)≥0甘∑(1+X—Y—z)(—z)≥0,而∑(1+X—Y—z)(—z)≥(1+X—Y—z)(—z)+(1+Y—z—z)(z—)2+(1+—X—)(z—)2=(1+X—Y—z)(—z)+2(1一X)x—)≥0,故f(x,Y,z)≥寺(当且仅当z=Yz时取等号).所以,f(X,Y,z)ITIi=寺.解法4:由z=嘉,=￡三旦.:
7、-斗,知问题可转化
8、一=一.ll烈牙寸''2ca'2ab''….…为:在锐角AABC中,求∑的最小值.∑旱一:∑一一一∑(卜c0sA)=1+cosA1+co8A一……丢∑(1+tan2一A芝)+∑cosA一3=∑tan+∑c0sA一,因(tan会一tanBcos一tancc.sB)+(tanc-tan≥0,故∑tanz≥2∑tantanc.sA,而(tanBtanc一1)c.sAsinc0s^in2A一—1c0.c0.故∑tan2≥一一4c0sc.s罢c0s'__~s—in2A—+2c0s会c.sc0s易证∑sin2A=4sinAsi
9、nBsinC,∑cosA一1_4Sinsinc,故∑tan2A2:~_2∞4sinAcs.i.nBs∞inC'+2∑.A=一16sinsin罢sin+2∑c0sA;4—2∑cosA..∑≥(4—2∑coSA)+∑cosA一=(当且仅当△ABc为正三角形时取等号).所以,厂(z.,)=.-47?
