初等代数的超越函数 李臣杰

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1、初等代数中的超越函数的解法初等代数研究作者:李臣杰学号:201108140414班级:数信院2011级4班17初等代数中的超越函数的解法班级：数学与信息学院2011级4班学号：201108140414姓名：李臣杰摘要：众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们更深刻、更全面地理解函数的本质，并且从中得到有益的方法和启示。而超越函数是初等函数中的一个难点。关键词：初等函数、超越函数、解法牛顿——莱布尼茨公式是计算定积分或广义积分的一般方

2、法，但在某些情况下会遇到函数的原函数不能用初等函数表示，如，，等函数.在阻尼振动、热传导与正态分布等实际问题中，常常遇到此类函数的积分，此时就不能用牛顿——莱布尼茨公式求解.在大学数学课程的学习中，我们已经掌握了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文将基于这些理论，给出超越函数定积分的五种解法.五种解法(1)基于幂级数展开法求积分引理1[1]若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则例1求定积分分析注意到在内连续，且若定义函数显然，在点为可去间断点，故在上可积.因此这是一道普通的定积分问题，

3、然而被积函数的原函数不易找到，下面用幂级数展开求解.解因为所以17.又因为级数在区间上一致收敛，且通项连续，所以得到■（2）基于柯西积分公式求积分引理2（柯西积分公式）[2]设区域的边界是周线（或复周线），函数在内解析，在上连续，则有例2求定积分分析若此题利用牛顿——莱布尼茨公式，则寻找被积函数的原函数比较困难.考虑到构造复变函数，利用该复变函数的积分来间接求出原积分.解考察复变积分，其中，利用柯西积分公式得.(1)令，代入得17(2)又因为在上为偶函数,所以由可得.■注：这题虽然不难，但给了我们启示——任意

4、给定函数，构造复变函数且该函数在某区域上的积分容易求出，使给定函数等于复变函数的实部或虚部，这样就可以求出实变函数的积分.(3)基于留数理论求积分引理3（柯西留数定理）[2]若在周线或复周线所围的区域内除外解析，在闭域上除外连续，则引理4（若当尔引理）[2]设函数沿半圆周充分大上连续，且在上一致成立，则引理5[2]设沿圆弧上连续，且在上一致成立极限，则有极限例3计算积分解因为积分存在，且=考虑函数沿图1所示闭曲线路径的积分17图1闭曲线路径根据柯西积分定理得或改写成(3)其中分别表示半圆周.由引理4知由引理5

5、知.在式(3)中，令，得的主值为.所以==.■(4)基于拉普拉斯变换法求积分从例3的解题过程看出，利用留数方法计算积分比较繁琐，以下利用拉普拉斯变换求解上题，相对比较简单.引理6[3]由积分所定义的确定于复平面上的复变数的函数，称为函数的拉普拉斯变换，其中于有定义，且满足不等式，这里为某两个正数，称为原函数，而称为像函数.解令，17对进行拉普拉斯变换，有，交换积分顺序得，则为的拉普拉斯变换.由欧拉公式得，，，其中把看为变量.从而.所以=，即的像函数为，所以=.■(5)含参变量积分法引理7[1]设在连续，若在上

6、一致收敛，则在上可积，且.引理8[1]设与在区域上连续，若17在上收敛，在上一致收敛，则在上可微，且通常，含参变量积分法主要有两种方法.方法一：把超越函数的积分化为二元函数的积分问题，再利用引理7的积分交换顺序，从而求出超越函数的积分.例4计算解因为，所以由于及反常积分收敛，根据威尔斯特拉斯判别式(M判别式)，含参变量反常积分在上一致收敛，由于在上连续，根据引理7，于是■方法二：把超越函数积分看成某个变量的函数，利用引理8，先微分，后积分，求出超越函数的积分.这里所阐述的都是大学中我们需要掌握和理解的。而超越

7、方程在高中的知识中也会涉及。遇到时，我们如何去处理它们呢？这里就要涉及到函数图象的变换、作图与超越方程的解有什么样的关系？函数图像有几种变换：平移变换、对称变换、翻折变换.我们也常遇到根据函数的图像，作出函数17的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注的图像的区别.一．按向量平移后函数图像的解析式1。点的平移我们知道，如果点按向量平移后的对应点为，那么例1.(1)点Ｐ(3,4)按向量平移后的新点Ｑ的坐标为　　　　．(2)点Ｐ按向量平移后得到新点Ｑ的坐标为(3,4)，那么点Ｐ的坐标为：

8、　　　　　．２.函数图像的平移定理：求函数的图象按向量平移后新图像的函数解析式为：，从而；证明：在平移后新图象上任取一点，而点Ｐ是由Ｑ(x0,y0)按平移后得到．由点平移公式知由于点Ｑ(x0,y0)=(x-h,y-k)在函数y=f(x)的图像上，故其坐标代入函数表达式成为恒等式．从而的得平移后新图像的函数解析式：，从而；平移后的函数图象的解析式是用x－h替换y＝f（x）中x，是用y-k替换y＝f（x