思科数学第10讲对数与对数函数

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1、第10讲　对数与对数函数　　基础梳理1．对数(1)对数的概念如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么，数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数．(2)常用对数通常将log10N叫做常用对数，记作lg_N.自然对数：通常将以无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数，记作ln_N.(3)对数的性质①零和负数没有对数；②loga1＝0(a>0，且a≠1)；③logaa＝1(a>0，且a≠1)；④alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．⑤logaam＝m(a＞0，a≠1)．2．对数的运算性质如果a>0，a≠1，M

2、>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)；(4)logaM＝(c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质关于对数的底数和真数从对数的实质看：如果ab＝N(a＞0且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，即b＝logaN.它是知道底数和幂求指数的过程．底数a从定义中已知其大于0且不等式1；N在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域应为{x

3、x

4、＞0}，对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．双基自测1．函数y＝的定义域是________．解析　由题意知，log0.5(4x2－3x)≥0＝log0.51，由于0＜0.5＜1，所以从而可得函数的定义域为∪.答案　∪2．(2011·泰州市学情调查)若函数f(x)＝则f(log43)＝________.解析　f(log43)＝4log43＝3.答案　33．(2011·盐城市检测)已知f(x)＝lg(－x2＋8x－7)在(m，m＋1)上是增函数，则m的取值范围是________．解析　由－x2＋8x－7＞0，得x2－8x＋

5、7＜0，解得1＜x＜7.又由－x2＋8x－7＝－(x2－8x)－7＝－(x－4)2＋9，得f(x)的增区间为(1,4]，于是有(m，m＋1)⊆(1,4]，所以1≤m≤3.答案　[1,3]4．(2011·盐城市检测)已知f(x)＝log3x＋2(x∈[1,9])，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________．解析　∵f(x)＝log3x＋2(x∈[1,9])，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中x满足1≤x≤9且1≤x2≤9.∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1.所以y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(log3x＋2)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x

6、＋6＝(log3x＋3)2－3.所以当x＝3时，ymax＝13.答案　135．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过一定点是________．答案　(2,2)　　考向一　对数式的化简与求值【例1】►(1)计算；(2)设3a＝4b＝36，求＋的值．[审题视点](1)利用对数的运算法则；(2)将指数转化为对数，利用换底公式即可．解　(1)＝＝＝1.(2)由3a＝36,4b＝36得a＝log336，b＝log436.由换底公式得：＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.(1)利用换底公式及logamNn＝logaN(a

7、＞0，a≠1，N＞0)，尽量转化为同底的和、差、积、商的运算；(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算．【训练1】计算：(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．解　(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝·＝·＝·＝.考向二　对数函数图象及其应用【例2】►已知函数f(x)＝

8、log2x

9、，正实数m，n满足m＜n且f(m)＝f(n)，若f(x)在区

10、间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为________．[审题视点]画图象求解，由图可先确定m与n的取值范围．解析　y＝f(x)＝

11、log2x

12、的图象如图所示，于是由0＜m＜n时，f(m)＝f(n)，得0＜m＜1＜n，又由f(m)＝f(n)，得

13、log2m

14、＝

15、log2n

16、，即－log2m＝log2n，log2(mn)＝0，所以mn＝1.因为0＜m2＜m＜1，且f(x)在(0,1)上单调递减，所以f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝

17、log2m2

18、＝－2log