2017年高中数学人教a版选修4-4自我小测：第一讲一　平面直角坐标系 word版含解析

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1、亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！那今天就来小试牛刀吧！注意哦：在答卷的过程中一要认真仔细哦！不交头接耳，不东张西望！不紧张！养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键！祝取得好成绩！一次比一次有进步！自我小测1．到两定点的距离之比等于常数k(k≠0)的点的轨迹是(　　)A．椭圆B．抛物线C．圆D．直线或圆2．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是(　　)A．B．C．D．3．若直线2x＋3y＝0经伸缩变换后变为直线x′＋y′＝0，则该伸缩变换为(　　)A．B．C．D．4．已知平面内有一条固定线段AB

2、，

3、AB

4、＝4.若动点P满足

5、PA

6、－

7、PB

8、＝3，O为AB的中点，则

9、OP

10、的最小值是(　　)A．B．C．2D．35．在平面直角坐标系中，A为平面内的一个动点，点B的坐标为(2,0)．若(O为坐标原点)，则动点A的轨迹为__________．6．在伸缩变换φ：的作用下，点P(1，－2)变换为点P′的坐标为__________．7．在同一平面直角坐标系中，若经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为__________．8．已知△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为________________．9．某河上

11、有抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽8m，一木船宽4m，高2m，载货后木船露在水面上的部分高为m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？10．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．(1)5x＋2y＝0；(2)x2＋y2＝2.11．圆O1与圆O2的半径都是1，

12、O1O2

13、＝4，过动点P分别作圆O1，O2的切线PM，PN，M，N分别为切点，使得

14、PM

15、＝

16、PN

17、，建立适当坐标系，求动点P的轨迹．参考答案1．解析：以两定点A，B所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设A(－a,0)，B(a,0)，P(x，y)，则

18、

19、PA

20、＝k

21、PB

22、，显然当k＝1时，点P的轨迹是直线(即线段AB的中垂线)；当k≠1，且k≠0时，代入两点间的距离公式化简可知点P的轨迹为圆．答案：D2．解析：设则μy＝sinλx，即y＝sinλx.比较y＝3sin2x与y＝sinλx，可得＝3，λ＝2，∴μ＝，λ＝2.∴答案：B3．解析：将直线2x＋3y＝0与直线x′＋y′＝0相比较可知答案：B4．解析：以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支．∵2c＝4，∴c＝2.∵2a＝3，∴a＝.∴b2＝c2－a2＝4－＝.∴点P的轨迹方程为－＝1.由图可知，点P

23、为双曲线与x轴的右交点时，

24、OP

25、最小，

26、OP

27、的最小值是.答案：A5．解析：设点A的坐标为(x，y)，则，，.代入已知条件得x(x－2)＋y2＝2.即(x－1)2＋y2＝3，它表示一个圆．答案：圆6．答案：(2，－1)7．解析：将伸缩变换代入x′2＋y′2＝1得25x2＋9y2＝1.答案：25x2＋9y2＝18．解析：∵△ABC的周长为10，∴

28、AB

29、＋

30、AC

31、＋

32、BC

33、＝10，其中

34、BC

35、＝4，则有

36、AB

37、＋

38、AC

39、＝6＞4.∴点A的轨迹为椭圆除去与直线BC相交的两点，且2a＝6,2c＝4.∴a＝3，c＝2，b2＝5.∴点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．答案：＋＝1(y≠

40、0)9．解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．∵A(4，－5)在抛物线上，∴42＝－2p(－5)，p＝1.6.∴x2＝－3.2y.设当水面上涨到与抛物线拱顶相距hm时船开始不能通航，这时木船两侧与抛物线接触，于是可设木船宽BB′的端点B的坐标为(2，y1)．由22＝－3.2y1，得，，故当水面上涨到与抛物线拱顶相距2m时，船开始不能通航．10．解：(1)由伸缩变换得将其代入5x＋2y＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′＋3y′＝0.故经过伸缩变换后，直线5x＋2y＝0变成直线5x′＋3y′＝0.(2)将代入x2＋y2＝2，

41、得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝2，即＋＝1.故经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝2变成椭圆＋＝1.11．解：以O1O2为x轴，以O1O2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O1(－2,0)，O2(2,0)．设P(x，y)，因为

42、PM

43、2＝

44、PO1

45、2－

46、MO1

47、2＝(x＋2)2＋y2－1，

48、PN

49、2＝

50、PO2

51、2－

52、NO2

53、2＝(x－2)2＋y2－1.又

54、PM

55、＝

56、PN

57、，则

58、PM

59、2＝2

60、PN

61、2，(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即x2＋y2－12x＋3＝0，(