第四节 总体分布函数的假设检验

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1、第四节总体分布函数的假设检验上两节中，我们在总体分布形式为已知的前提下，讨论了参数的检验问题.然而在实际问题中，有时不能确知总体服从什么类型的分布，此时就要根据样本来检验关于总体分布的假设.例如检验假设：“总体服从正态分布”等.本节仅介绍检验法.所谓检验法是在总体的分布为未知时，根据样本值x1，x2，…，xn来检验关于总体分布的假设H0：总体X的分布函数为F（x）；H1：总体X的分布函数不是F（x）（8.22）的一种方法（这里的备择假设H1可不必写出）.注意，若总体X为离散型，则假设（8.22）相当于H0：总体X的分布律为P{X=xi}=pi，i=1，2，…；（8.23）若总体

2、X为连续型，则假设（8.22）相当于H0：总体X的概率密度为f（x）.（8.24）在用检验法检验假设H0时，若在假设H0下F（x）的形式已知，而其参数值未知，此时需先用极大似然估计法估计参数，然后再作检验.检验法的基本思想与方法如下：(1)将随机试验可能结果的全体Ω分为k个互不相容的事件A1，A2，…，Ak(=Ω，AiAj=Æ，i≠j；i,j=1,2,…,k）,于是在H0为真时，可以计算概率=P(Ai）（i=1，2，…，k）.（2）寻找用于检验的统计量及相应的分布，在n次试验中，事件Ai出现的频率与概率往往有差异，但由大数定律可以知道，如果样本容量n较大（一般要求n至少为50，

3、最好在100以上），在H0成立条件下的值应该比较小，基于这种想法，皮尔逊使用=(8.25)作为检验H0的统计量,并证明了如下的定理.定理8.1若n充分大(n≥50),则当H0为真时(不论H0中的分布属什么分布),统计量(8.25)总是近似地服从自由度为k-r-1的分布,其中r是被估计的参数的个数.（3）对于给定的检验水平α，查表确定临界值使13P{＞）}=α，从而得到H0的拒绝域为＞）.（4）由样本值x1，x2，…，xn计算的值，并与比较.（5）作结论：若＞，则拒绝H0，即不能认为总体分布函数为F（x）；否则接受H0.例8.10一本书的一页中印刷错误的个数X是一个随机变量，现检

4、查了一本书的100页，记录每页中印刷错误的个数，其结果如表8-5所示.表8-5错误个数i0123456≥7页数fi36401920210AiA0A1A2A3A4A5A6A7其中fi是观察到有i个错误的页数.问能否认为一页书中的错误个数X服从泊松分布(取α=0.05)?解由题意首先提出假设：H0：总体X服从泊松分布.P{X=i}=，i=0，1，2，…，这里H0中参数λ为未知，所以需先来估计参数.由最大似然估计法得=1.将试验结果的全体分为A0，A1，…，A7两两不相容的事件.若H0为真，则P{X=i}有估计，i=0，1，2，….例如………………计算结果如表8-6所示.将其中有些n

5、pi＜5的组予以适当合并，使新的每一组内有npi≥5，如表8-6所示，此处并组后k=4，但因在计算概率时，估计了一个未知参数λ，故13计算结果为=1.460(表8-6).因为=5.991＞1.46，所以在显著性水平为0.05下接受H0，即认为总体服从泊松分布.表8-6AifiA036e-136.788-0.7880.017A140e-136.7883.2120.280A219e-1/218.3940.6060.020A3A4A5A6A720210e-1/6e-1/24e-1/120e-1/7206.1311.5330.3070.0510.008-3.031.143Σ1.460例

6、8.11研究混凝土抗压强度的分布.200件混凝土制件的抗压强度以分组形式列出（表8-7）.n==200.要求在给定的检验水平α=0.05下检验假设H0：抗压强度X~N（μ，σ2）.表8-7压强区间(×98kPa)频数fi190~20010200~21026210~22056220~23064230~24030240~25014解原假设所定的正态分布的参数是未知的，我们需先求μ与σ2的极大似然估计值.由第七章知，μ与σ2的极大似然估计值为，.设为第i组的组中值，我们有13=221,=152,=12.33.原假设H0改写成X是正态N（221，12.332)分布，计算每个区间的理论概

7、率值,i=1，2，…，6,其中,.为了计算出统计量之值，我们把需要进行的计算列表如下（表8-8）.表8-8压强区间X频数fi标准化区间［μi，μi+1］190~20010（-∞，-1.70）0.045910.11200~21026［-1.70,-0.89)0.14228.45.760.20210~22056［-0.89,-0.08)0.28156.20.040.00220~23064［-0.08,0.73)0.29959.817.640.29230~24030［0.73,1.54)0.171