复摆运动的初步分析及混沌现象

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1、复摆运动的初步分析及混沌现象Ozprince1.概述：复摆是指，在重力作用下绕通过自身某固定水平轴摆动的刚体。即复摆是一刚体绕固定的水平轴在中立的作用下作微小的摆动的动力运动体系，又称物理摆。而在教学中通常只考虑其简谐振动即“微小摆动”的情形，内容比较单一，实际上，我们可以将其定义推广至任意角度汉周期驱动力与阻尼力矩的情形。2.运动方程：对如图所示的物理白，其质量为m，对转轴o的转动惯量为J，质心C到转轴的距离为h，如果复摆振动时受到的阻尼力矩是；周期性驱动力的力矩为,重力矩为,则复摆的运动方程可以写为：经化简后方程可以表示为

2、:其中3.相图法：将指点的位置（或角位置）作为横坐标，将速度（或角速度）作为纵坐标，所构成的直角坐标系平面，称为相平面。所谓“相”是只某种运动状态，指点在某一时刻的运动状态可用它在该时刻的位置和速度来描述。因此质点的一个运动状态，对应于相平面上的一个质点，称为相点。当质点的运动状态发生变化时，相点就在相平面内运动，相点的运动轨迹称为相迹或者相图。1.复摆运动方程的解的讨论及运动过程模拟：i)无阻尼（a=0），无驱动（d=0）的情形,这时方程化为：位移较小的情形：当角位移<<1时，略去泰勒展开式中的高次项sin=，即：其中b是由

3、系统自身的性质决定的，上式的解为：（*）这时我们常见的简谐振动的形式，式中的A为振幅。由（*）式可知它的相迹是椭圆，其大小取决于振幅A，频率b。运动模拟方面我们可以采用Oringin等软件绘制图形。所有参数均取有意义的简单值，并不给出。图1.任意大小的角位移，方程近似为：此方程解一般不能用初等函数表示，当<时，周期的增加不大，当趋近于时周期趋近于。因为是个不稳定的平衡点，由它从静止出发，或趋近而又不超越它，理论上需要无穷长的时间。在模拟中我们发现，此方程的解依赖于初值的给定，对于（相差10%）我们得出如下图形。图2.通过观察我

4、们发现，对于这样一个非齐次微分方程，初值给出不同值，其解果的偏差可能是惊人的不同，这便有了混沌的影子。ii)有阻尼（a≠0）无驱动（d=0）的情形对于线性振动（）这时公式化为：此时运动有三种状态：时为欠阻尼状态，时为临界阻尼状态，时为过阻尼状态，在此我们只对的欠阻尼状态略作讨论：此时方程的解为：因子不断随时间衰减则以为频率，周期性变化。如图为欠阻尼状态相图。图3.iii)有阻尼（a≠0）有驱动力（d≠0）的情形：线性振动当时公式化为方程解为其中A和是由初始条件决定的常数。此解为两项之和，表明复摆运动包含两个分运动。第一项为阻尼

5、运动，随时间推移趋近于消失，它反映受迫振动的暂态行为，与驱动力无关。第二项表示与驱动力频率相同且振幅为B和初相位也并非决定于初始条件，而是依赖于系统本身的性质，阻尼的大小和驱动力的特征。即与参量有关。图4.非线性解振动及其混沌解：当较大时取这时方程近似化为：方程中出现了非线性项—这时复摆称为受周期驱动力的非线性振子。在一切初始量，参量确定的情形下达到平衡状态，这时的运动是确实一定的。但当参数取某些值时，运动却出现“崩溃”的局面。相差1%时，我们得到这样的图形。图5.由此可见，初值相差1%时我们得到了完全不同的两个图形，这就是“

6、混沌”现象。1.混沌（Chaos）“混沌”，人们有关于这个概念听说的应该是另外一个词——“蝴蝶效应”。一丝一毫的偏差都会带来完全不同的结果。对于多重相关的系统，改变其中一个参量的值将会对整个系统带来颠覆性的改变。以前我就曾想象过，如果一个硬币被抛向天空。如果它的所有物理量都是确定的那么它的运动状态是否一定确定呢。其实一开始我的答案似乎是蛮肯定的，因为想不出有什么不对的地方。即使在后来高中物理学习了微观世界的不确定性，认识了混沌这个概念，我也不能够想象这个崩溃产生的原因。在写完这篇论文之前，我刚刚完成了常微分方程的学习。这样我突

7、然能够明白了这个道理，即对于一个相同的微分方程，有一组解，如果初值不同会有可能带来完全不同的结果，甚至形式上会有巨大的差异。在确定这个论文的命题之前，我曾试图去讨论“一杯咖啡平面的的运动状态”，后来我才反应过来，这并不是学习一些个流体力学的方程就能够解决的问题，这也是“混沌”现象。“混沌”现象可以说是无处不在，正是这种奇妙的不确定性，造成了我们宏观世界的纷繁复杂。科学没有止境，即使在明白了没有可能预见未来，我们的物理学家们还在做着他们最大的努力，试图让这个世界更加清晰一些。我们应该向他们致敬。