微分方程解算子和矩阵的图灵可计算性

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1、江苏大学硕士学位论文微分方程解算子和矩阵的图灵可计算性姓名：郑瑞申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：卢殿臣20081212江苏大学硕士学位论文摘要许多物理学家都认为：一个给定初值的物理方程，它所反映的某一系统随时间的变化情况是可以被计算机以任意精度所描述的。因此，研究偏微分方程解算子的可计算性有着重要的现实意义。本文主要研究了组合KdV方程以及四阶薛定谔方程解算子的可计算性。首先，利用方程的守恒量或能量函数，研究其解的某些特殊性质。然后，在Sobolev空间上用傅立叶变换把微分方程转换成积分方程。再利用解的性质、Schwartz函数的性质

2、、压缩映象原理和TTE理论证明存在丁>0，使得相应的积分算子在0≤f≤T时是可计算的。最后，通过构造可计算函数把解从区间[O，T]延拓到整个实数空间上，从而得到原微分方程的解算子有相同的可计算性。本文研究的结果为精确计算组合KdV方程以及四阶薛定谔方程的解提供了理论依据，推广了数字计算机求解微分方程的应用领域。本文还研究了实矩阵的图灵可计算性，给出了实矩阵的可计算性定义和二种表示，并运用拓扑空间上的可计算性理论证明了这二种表示是等价的。运用二型有效论作为可计算模型，证明了可计算实矩阵的一系列运算结果仍是可计算的实矩阵。以此为基础可以进一步研究矩

3、阵函数的可计算性，建立矩阵空间的可计算性理论。关键词：微分方程解算子，实矩阵，图灵机，可计算函数，二型有效论，Sobolev空间江苏大学硕士学位论文ABSTRACTManyphysicistsbelievethat：givenaninitialvalueforthephysicalequation，achangeitreflectsinthesystemovertimecanbedescribedwithanyprecisionbycomputers．Therefore，findingthecomputabilityofsolutionoper

4、atorsofsomepartialdifferentialequationsisveryimportantandpracticalsignificant．Inthispaper，westudythecomputabilityofthesolutionoperatorsofthecombinedKdVequationandthefourth—orderSchrSdingerequation．Firstly,westudythecertainpositionoftheirsolutionsbytheconservationequationsort

5、heenergyfunction．Secondly,wechangetheequationsintotheequivalentintegralequationsonSobolevspacebyFouriertransform．Thirdly,weprovethattheintegraloperatorsarecomputablebyuseofthecertainpositionofthesolution，theSchwartzfunctions，contractionprincipleandTTE．Finaly,bythecomputablef

6、unctionsconstructed，weextendthesolutionfromtheinternaltotheentirespace．TheseresultslaythetheoreticalfoundationforcomputingthesolutionofthecombinedKdVequationandthefourth-orderSchr／Sdingerequationexactly'andextendtheapplicationofdigitalcomputerstosolvedifferentialequations．In

7、addition，TheTuringcomputabilityoftherealmatrixisstudiedandthecomputabledefinitionoftherealmatrixandtworepresentationsaregiven，andthenprovetheyareequivalent．ItisprovedthatsomecalculationresultsofthecomputablerealmatrixremaincomputablerealmatrixbyvirtueofType-2theoryofeffectiv

8、ity．KEYWORDS：Turingmachine，rrE，Sobolevspace，Solutionoperatorofdifferentiale