时间序列分析(张能福)第三章

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1、第一节线性差分方程一、后移算子B定义为三、齐次方程解的计算1、AR(n)过程自相关函数ACF1阶自回归模型AR(1)Xt=Xt-1+at的k阶滞后自协方差为：Xt=1Xt-1+2Xt-2+at该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1,2分别为一般地，n阶自回归模型AR(n)Xt=1Xt-1+2Xt-2+…nXt-n+at其中：zi是AR(n)特征方程(z)=0的特征根，由AR(n)平稳的条件知，

2、zi

3、<1;因此，当zi均为实数根时，k呈几何型衰减（单调或振荡）；当存在虚数根时，则一对共扼复根

4、构成通解中的一个阻尼正弦波项，k呈正弦波衰减。对MA(1)过程其自协方差系数为二、偏自相关函数从Xt中去掉Xt-1的影响，则只剩下随机扰动项at，显然它与Xt-2无关，因此我们说Xt与Xt-2的偏自相关系数为零，记为MA(1)过程可以等价地写成at关于无穷序列Xt，Xt-1，…的线性组合的形式：与MA(1)相仿，可以验证MA(m)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。ARMA(n,m)的自相关函数，可以看作MA(m)的自相关函数和AR(n)的自相关函数的混合物。当n=0时，它具有截尾性质；当m=0

5、时，它具有拖尾性质；当n、m都不为0时，它具有拖尾性质从识别上看，通常：ARMA(n，m)过程的偏自相关函数（PACF）可能在n阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes），但从n阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数（ACF）则是在m阶滞后前有几项明显的尖柱，从m阶滞后项开始逐渐趋向于零。对k=1，2，3，…依次求解方程，得上述……序列为AR模型的偏自相关函数。偏自相关性是条件相关，是在给定的条件下，和的条件相关。换名话说，偏自相关函数是对和所解释的相关的度量。之间未被由最小二乘原理易得，是作为

6、关于线性回归的回归系数。如果自回归过程的阶数为n，则对于k>n应该有kk=0。L+++=--221ttttXXXqqa或ttttXXXaqq+---=--L221这是一个AR()过程，它的偏自相关函数非截尾但却趋于零，因此MA(1)的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的。注意:上式只有当

7、

8、<1时才有意义，否则意味着距Xt越远的X值，对Xt的影响越大，显然不符合常理。因此，我们把

9、

10、<1称为MA(1)的可逆性条件（invertibilitycondition）或可逆域。MA(m)模型的识别规则：若随机

11、序列的自相关函数截尾，即自m以后，k=0（k>m）；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是移动平均MA(m)序列。同样需要注意的是：在实际识别时，由于样本自相关函数rk是总体自相关函数k的一个估计，由于样本的随机性，当k>m时，rk不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证明，当k>m时，rk服从如下渐近正态分布:rk~N(0,1/n)式中n表示样本容量。因此，如果计算的rk满足：我们就有95.5%的把握判断原时间序列在m之后截尾。ARMA(n,m)过程*，从而前面的MA(m)模型、AR(n)模型和

12、ARMA(n,m)模型可分别表示为：其中：后移算子的性质:二、线性差分方程差分方程的通解为：可写成这里这里，C(t)是齐次方程通解，I(t)是特解。假定G1，G2，…，Gn是互不相同，则在时刻t的通解：其中Ai为常数（可由初始条件确定）。无重根考虑齐次差分方程重根设有d个相等的根，可验证通解为对一般情形，因此，齐次方程解是由衰减指数项、多项式、衰减正弦项，以及这些函数的组合混合生成的。齐次方程解便是请看例题定义：设零均值平稳序列第二节格林函数(Green’sfunction)和平稳性(Statio

13、narity)一、格林函数(Green’sfunction)能够表示为则称上式为平稳序列的传递形式，式中的加权系数称为格林（Green）函数，其中格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。（1）式可以记为其中式（1）表明具有传递形式的平稳序列可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“”的作用而生成，是j个单位时间以前加入系统的干扰项对现实响应的权，亦即系统对的“记忆”。二、AR（1）系统的格林函数由AR（1）模型即：则AR(1)模型的格林函数例：下面是参数分别为0.9、0.1和-0.9的AR

14、（1）系统对扰动的记忆情况。（演示试验）比较前后三个不同参数的图，可以看出：取正值时，响应波动较平坦。取负值时，响应波动较大。越大，系统响应回到均衡位置的速度越慢，时间越长。三、格林函数与AR（n）系统的平稳性平稳性的涵义就是干扰项对系统的影响逐渐减弱，直到消失，对于一个AR（n）系统，将其写成格林函数的表示形式，如果系统是平稳的，则预示随着j→∞，扰动的权数对于AR(1)系统即这要求上述条件等价于AR(1)系统的特征方程的根在单位圆内(或方程的根在单位圆外).AR（n）模型，即其